Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，且OA、OB的長(zhǎng)滿(mǎn)足|OA﹣8|＋（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分線交x軸于點(diǎn)C過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E．

（1）求線段AB的長(zhǎng)；

（2）求直線CE的解析式；

（3）若M是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使以A、B、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）求線段AB=10；（2）求直線CE的解析式y=-x-4；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)(-4，8)、(3，2)；

【解析】試題分析：

(1) 根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性可以獲得線段OA和OB的長(zhǎng). 利用勾股定理可以得到線段AB的長(zhǎng).

(2) 要求直線CE的解析式，需要先求點(diǎn)C和點(diǎn)E的坐標(biāo). 利用角平分線的性質(zhì)可以得到OB=DB，OC=DC. 利用已知的線段長(zhǎng)度和各線段之間的關(guān)系，在Rt△ADC中通過(guò)勾股定理可以獲得關(guān)于OC的方程，求解這一方程即可獲得點(diǎn)C的坐標(biāo). 利用對(duì)頂角的關(guān)系可以證明△ADC與△EOC全等，進(jìn)而可以利用線段AD的長(zhǎng)獲得點(diǎn)E的坐標(biāo). 利用點(diǎn)C和點(diǎn)E的坐標(biāo)通過(guò)待定系數(shù)法即可求得直線CE的解析式.

(3) 根據(jù)題意可以在第一和第二象限內(nèi)各找到一個(gè)符合題意的點(diǎn)P. 因此，本小題應(yīng)該對(duì)這兩種情況分別進(jìn)行討論. 在求解位于第二象限內(nèi)的點(diǎn)P坐標(biāo)的時(shí)候，可以過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線PG. 利用△BOC和△AMC相似的關(guān)系獲得線段AM的長(zhǎng)，利用矩形的性質(zhì)得到線段PB的長(zhǎng). 利用△PGB與△BOC相似的關(guān)系獲得線段PG和BG的長(zhǎng)，進(jìn)而寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo). 在求解位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P坐標(biāo)的時(shí)候，可以過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線PH. 利用△ABM與△DBC相似的關(guān)系獲得線段AM的長(zhǎng)，利用矩形的性質(zhì)得到線段PB的長(zhǎng). 利用△PHB與△BOA相似的關(guān)系獲得線段PH和BH的長(zhǎng)，進(jìn)而寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：

(1) ∵，

∴OA=8，OB=6.

∴在Rt△AOB中， .

(2) 設(shè)OC=m，則AC=OA-OC=8-m.

∵點(diǎn)C在∠ABO的平分線上，

∴.

∵OC⊥BE，CD⊥AB，

∴∠BOC=∠BDC=90°.

∵在△BOC和△BDC中，

，

∴△BOC≌△BDC (AAS).

∴OB=DB=6，OC=DC=m.

∴AD=AB-BD=10-6=4.

∵在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2，

∴(8-m)2=42+m2，

∴m=3.

∴OC=m=3.

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3, 0).

∵在△ADC和△EOC中，

，

∴△ADC≌△EOC (ASA).

∴AD=EO=4.

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0, -4).

設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b (k≠0).

將點(diǎn)C和點(diǎn)E的坐標(biāo)分別代入直線CE的解析式，得

，

解之，得

，

∴直線CE的解析式為.

(3) 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4, 8)或(3, 2). 求解過(guò)程如下.

根據(jù)題意，分別對(duì)下面兩種情況進(jìn)行討論.

①如圖①，四邊形AMBP為矩形.

過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OB，垂足為G.

∵OC=3，OB=6，

∴在Rt△BOC中， .

∵∠BOC=∠AMC=90°，∠BCO=∠ACM，

∴△BOC∽△AMC，

∴.

∵AC=OA-OC=8-3=5，OB=6， ，

∴.

∴在矩形AMBP中， .

∵∠PBM=90°，

∴∠PBG+∠OBC=180°-∠PBM=180°-90°=90°.

∵在Rt△BOC中，∠BCO+∠OBC=90°，

∴∠PBG=∠BCO.

∵∠PGB=∠BOC=90°，∠PBG=∠BCO，

∴△PGB∽△BOC，

∴.

∴， .

∴OG=OB+BG=6+2=8.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4, 8).

②如圖②，四邊形AMBP為矩形.

如圖②，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OB，垂足為H.

∵CD⊥AB，AM⊥AB，

∴CD∥AM，

∴△ABM∽△DBC，

∴.

∵CD=OC=3，BD=OB=6，AB=10，

∴.

∴在矩形AMBP中，BP=MA=5.

∵∠ABO+∠PBH=∠ABP=90°，

又∵在Rt△AOB中，∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠PBH=∠BAO.

∵∠PHB=∠BOA=90°，∠PBH=∠BAO，

∴△PHB∽△BOA，

∴.

∴， .

∴OH=OB-BH=6-4=2.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3, 2).

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4, 8)或(3, 2).