Question

如圖1，四邊形ABCD是菱形，過點A作BC的垂線交CB的延長線于點E，過點C作AD的垂線交AD的延長線于點F．
（1）說明△AEB≌△CFD的理由；
（2）連接AC、BD，AC與DB交于點O（如圖2），若BE=1．
①當DC=2時，求FC的長度；
②當CD是∠ACF的平分線時，求DB的長度與菱形ABCD的邊長．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AD∥BC，
又∵AE⊥CE，CF⊥AF，
∴AE=CF，
∴在直角三角形AEB和直角三角形CFD中，
∴△AEB≌△CFD；

（2）①∵△AEB≌△CFD，
∴DF=BE=1，
∴FC==，
②當CD是∠ACF的平分線時
∵∠DOC=90°，∠CFD=90°，
∴DO=DF=1，
∴DB=2，
∵CD是∠ACF的平分線，
∴∠ECA=∠DCA=∠DCF=30°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴菱形ABCD的邊長為2．
分析：（1）首先這兩個三角形是直角三角形，可根據(jù)菱形的性質(zhì)四邊相等，對邊平行，可得到AB=DC，AE=CF；
（2）因為三角形AEB是直角三角形，可根據(jù)勾股定理求解；
（3）用角平分線上的點到兩邊的距離相等的性質(zhì)以及勾股定理可求出DB的長度與菱形ABCD的邊長．
點評：本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理以及角平分線上的點到兩邊的距離相等，和直角三角形全等的判定，關(guān)鍵是熟記這些性質(zhì)定理和判定定理．