Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣ x﹣2（a≠0）的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標(biāo)為（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；
（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

方法一：解：將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：

0=16a﹣ ×4﹣2，即：a= ；

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣2

（2）

方法一：解：由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=4，

即：OC2=OAOB，又：OC⊥AB，

∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，

∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；

所以該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標(biāo)為：（ ，0）

方法二：

解：∵y= （x﹣4）（x+1），

∴A（﹣1，0），B（4，0）．C（0，﹣2），

∴KAC= =﹣2，KBC= = ，

∴KAC×KBC=﹣1，∴AC⊥BC，

∴△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，△ABC的外接圓的圓心是AB的中點，△ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)為（ ，0）

（3）

方法一：解：已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直線BC的解析式為：y= x﹣2；

設(shè)直線l∥BC，

則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當(dāng) 直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：

x+b= x2﹣ x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；

∴4﹣4× （﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；

∴直線l：y= x﹣4．

所以點M即直線l和拋物線的唯一交點，有：

，

解得：

即 M（2，﹣3）．

過M點作MN⊥x軸于N，

S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB= ×2×（2+3）+ ×2×3﹣ ×2×4=4

方法二：

解：過點M作x軸的垂線交BC′于H，

∵B（4，0），C（0，﹣2），

∴l(xiāng)BC：y= x﹣2，

設(shè)H（t， t﹣2），M（t， t2﹣ t﹣2），

∴S△MBC= ×（HY﹣MY）（BX﹣CX）= ×（ t﹣2﹣ t2+ t+2）（4﹣0）=﹣t2+4t，

∴當(dāng)t=2時，S有最大值4，

∴M（2，﹣3）．

【解析】方法一：（1）該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù)，只需將B點坐標(biāo)代入解析式中即可．（2）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點坐標(biāo)，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo)．（3）△MBC的面積可由S△MBC= BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M．
方法二：（1）略．（2）通過求出A，B，C三點坐標(biāo)，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC，從而求出圓心坐標(biāo)．（3）利用三角形面積公式，過M點作x軸垂線，水平底與鉛垂高乘積的一半，得出△MBC的面積函數(shù)，從而求出M點．
【考點精析】本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點和三角形的面積的相關(guān)知識點，需要掌握一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當(dāng)b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當(dāng)b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當(dāng)b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．；三角形的面積=1/2×底×高才能正確解答此題．