Question

“玉女峰”是武夷山最秀麗的山峰，她亭亭玉立于九曲溪邊，為測得峰頂A到河面B的高度h，當游船行至C處時測得峰頂A的仰角為α，前進m米至D處時測得峰頂A的仰角為β（此時C、D、B三點在同一直線上）．
（1）用含α、β和m的式子表示；
（2）當α=48°，β=66°，m=50米時，求h的值．（精確到1米）

Answer 1

分析：（1）可分別在Rt△ABC和Rt△ABD中，用AB表示出BC、BD的長，進而由CD=BC-BD=m得到AB即h的表達式；
（2）將題目給出的值代入（1）得到的關(guān)系式中，即可求得h的值．

解答：解：（1）用含α、β和m的式子表示h：在Rt△ABC中，∵tanα=

h

BC

，∴BC=

h

tanα

（2分）
在Rt△ABD中，∵tanβ=

h

BD

，∴BD=

h

tanβ

（4分）
∵m=BC-BD，∴m=

h

tanα

-

h

tanβ

（6分）
∴h=

m•tanα•tanβ

tanβ-tanα

(或h=

m

cotα-cotβ

)；（7分）

（2）當m=50，α=48°，β=66°時，h=

50•tan48°•tan66°

tan66°-tan48°

≈100（米）．
答：h的值約為100米．（10分）

點評：本題考查直角三角形的解法，首先構(gòu)造直角三角形，再借助角邊關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題．