Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是BC邊上的中點，DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F．
求證：DE=DF．

Answer 1

證明：
證法一：連接AD．
∵點D是BC邊上的中點
∴AD平分∠BAC（三線合一性質(zhì)），
∵DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F．
∴DE=DF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）．
證法二：在△ABC中，
∵AB=AC
∴∠B=∠C（等邊對等角） …
∵點D是BC邊上的中點
∴BD=DC …
∵DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F
∴∠BED=∠CFD=90°…
在△BED和△CFD中
∵，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF（全等三角形的對應邊相等）．
分析：D是BC的中點，那么AD就是等腰三角形ABC底邊上的中線，根據(jù)等腰三角形三線合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分線，根據(jù)角平分線的點到角兩邊的距離相等，那么DE=DF．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答本題的關鍵．