Question

拋物線y=

1

2

x²-kx+

5

2

與x軸的正方向相交于點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，若△ABC為等腰直角三角形，求k值及AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：令y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程，求出兩根之和與兩根之積表達(dá)式，然后求出AB的距離，求出函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，令頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值等于AB的一半即可得到關(guān)于k的方程，通過解方程求得k的值．

解答：解：設(shè)A、B的坐標(biāo)為（x₁，0），（x₂，0），
由

1

2

x²-kx+

5

2

=0，有x₁+x₂=2k，x₁•x₂=5，
∴|AB|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

4k2-20

=2

k2-5

，
又∵-

b

2a

=k，

4ac-b2

4a

=

5-k2

2

，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（k，

5-k2

2

），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴|

5-k2

2

|=

1

2

|AB|=

1

2

×2

k2-5

，
∴k=±

7

．
則AB=2

2

，
綜上所述，k值是±

7

，AB的長(zhǎng)度是2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等，要綜合分析，認(rèn)真解答．