Question

19．已知：如圖，菱形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AB，AB=8cm．求：
（1）∠ABC的度數(shù)；
（2）對(duì)角線AC的長(zhǎng)；
（3）菱形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=AD=BC=8cm，求出AD=2AE，即可得出∠ADE=30°，求出∠DAB=60°即可；
（2）過C作CM⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于M，根據(jù)勾股定理求出CM，求出AM，再根據(jù)勾股定理求出即可；
（3）根據(jù)菱形面積公式求出即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=8cm，
∵DE⊥AB，E是AB的中點(diǎn)，
∴∠DEA=90°，AE=4cm，
∴AD=2AE，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAB=60°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC+∠DAB=180°，
∴∠ABC=120°；

（2）過C作CM⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于M，
則∠M=90°，
∵BC=8cm，∠ABC=120°，
∴∠CBM=60°，
∴∠BCM=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=4cm，
∴AM=8cm+4cm=12cm，
由勾股定理得：CM=$\sqrt{B{C}^{2}-B{M}^{2}}$=4$\sqrt{3}$cm，
AC=$\sqrt{C{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+（4\sqrt{3}）^{2}}$=8$\sqrt{3}$（cm）；

（3）菱形ABCD的面積為AB×CM=8cm×4$\sqrt{3}$cm=32$\sqrt{3}$cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積的應(yīng)用，能熟記菱形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．