Question

未來一年，重慶將在打造“森林重慶”的過程中對“兩翼一圈”中的“兩翼”地區(qū)實施萬元增收工程，為了提高農(nóng)戶收入，某縣決定對在森林間的空地上種植中草藥實行政府補貼，規(guī)定每種植一畝中草藥一次性補貼農(nóng)戶若干元，經(jīng)調(diào)查，種植畝數(shù)y（畝）與補貼數(shù)額x（元）之間成一次函數(shù)關(guān)系，且補貼與種植情況如下表：

補貼數(shù)額x（元）	100	200	…
種植畝數(shù)y（畝）	1600	2400	…

隨著補貼數(shù)額x的不斷增大，種植規(guī)模也不斷增加，但每畝中草藥的收益z（元）會相應降低，該縣補貼政策實施前每畝中草藥的收益為3000元，而每補貼10元，每畝中草藥的收益會相應減少30元．
（1）分別求出政府補貼政策實施后，種植畝數(shù)y（畝）、每畝中草藥的收益z（元）與政府補貼數(shù)額x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）要使全縣種植這種中草藥的總收益W（元）最大，政府應將每畝補貼數(shù)額x定為多少元？并求出總收益W的最大值和此時的種植畝數(shù)：（總收益=每畝收益×畝數(shù)）
（3）在取得最大收益的情況下，為了發(fā)展森林旅游，需占用其中不超過60畝的森林間空地修建一個森林公園．已知修建森林公園平均每畝的費用為650元，此外還要購置部分游樂設施，這項費用（元）等于空地面積（畝）的平方的25倍．這樣，將空地用來修建森林公園比用來種植中草藥時每畝的平均收益增加了2000元，在扣除所有修建費用后總收益為85000元，求修建的森林公元有多少畝？（精確到個位）（參考數(shù)據(jù)：=1.414，=1.732，=2.236）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圖表提供的數(shù)據(jù)，可用待定系數(shù)法，分別求出種植畝數(shù)y、每畝蔬菜的收益z與政府補貼數(shù)額x之間的一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）中z與x，以及y與x之間的關(guān)系，可以求出w與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)最值公式求出即可；
（3）設修建了s畝蔬菜大棚，根據(jù)題意列方程解出s值．
解答：解：（1）設y=kx+b，由圖表將點（100，1600），（200，2400），
代入得，1600=k×100+b，
2400=k×200+b，
解得：k=8，b=800，
∴y=8x+800，
同理：設z=mx+n，由題意可得n=3000，將點（100，2700），
代入z=mx+3000，2700=m×100+3000，
解得：m=-3，
∴z=-3x+3000；

（2）∵w=yz=（8x+800）（-3x+3000）=-24x²+21600x+2400000，
∴w=-24（x-450）²+7260000，
∴每畝應補貼x=450元，w的最大值為7260000元，
此時，y=8×450+800=4400畝；

（3）設修建了s畝蔬菜大棚，原來每畝的平均收益為=1650元，
由題意得方程：（1650+2000）s-650s-25s²=85000，
解得s₁=60+10≈74，s₂=60-10≈46，
∵0＜s≤60，
∴s≈46．
答：修建了46畝蔬菜大棚．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應用，讀懂題意，認真分析表示出各部分建筑費，找到等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵．