Question

如圖，在△BCE中，∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°，在邊AB上取點(diǎn)D，在CA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使AC•CE+AB•BD=BC²
求證：（1）∠CEB＞∠ABC；
（2）BE=2CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長(zhǎng)CE到F，使EF=2BD，由∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°，可得∠ACB=90°，又AC•CE+AB•BD=BC²，等量代換可得AC（CE+2BD）=BC²，即，則△ABC∽△BFC，∠ABC=∠F，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可證得；
（2）∠F=30°，則BF=2BC，易證△EFB∽△DBC，即可證得BE=2CD．
解答：證明：（1）延長(zhǎng)CE到F，使EF=2BD，
∵在△BCE中，∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°，
∴∠ACB=90°，∠ABC=30°，∠CAB=60°，
∴AB=2AC，
∵AC•CE+AB•BD=BC²，
∴AC（CE+2BD）=BC²，
∴AC×CF=BC²，
即，
∴△ABC∽△BFC，
∴∠ABC=∠F=30°，
∵∠CEB＞∠F，
∴∠CEB＞∠ABC；

（2）∵∠F=30°，∠FCB=90°，
∴FB=2BC，又∠F=∠CBD，EF=2BD，
∴△EFB∽△DBC，
∴===，
∴BE=2CD．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，掌握如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．