Question

如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O₁與⊙O內切于點C，且與AB相切于點D，AC交⊙O₁于點E，EF⊥AB于F，交⊙O于點G．
（1）求證：GF是⊙O₁的切線．
（2）若AB=10，AD=AG=8，求⊙O₁的半徑和AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，O₁E，由于兩圓相切，可知O、O₁、C在同一直線上，再根據O₁E=O₁C，可得∠O₁EC=∠O₁CE，同理∠OAC=∠OCA，等量代換可得∠O₁EC=∠OAC，于是O₁E∥AB，而GF⊥AB，可證O₁E⊥GF，那么GF是⊙O₁的切線；
（2）連接O₁D，BC，設⊙O₁的半徑是r，由于AB是⊙O₁的切線，那么O₁D⊥AB，根據AB=10，AD=8，可求BD=2，OA=OB=OC=5，在Rt△O₁OD中，利用勾股定理可求r=1.6，又∠O₁EF=∠EFD=∠FDO₁=90°，O₁E=O₁D，可證四邊形EFDO₁是正方形，那么EF=DF=r=1.6，可求BD=3.6，于是AF=6.4，則EF：AF=1：4，根據∠EAF=∠BAC，∠AFE=∠ACB=90°，可證△AEF∽△ABC，那么EF：AF=BC：AC，于是BC：AC=1：4，再設BC=x，則AC=4x，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求BC，進而可求AC．
解答：解：（1）連接OC，O₁E，如右圖所示，
∵⊙O和⊙O₁相切于C，
∴O、O₁、C在同一直線上，
∵O₁E=O₁C，
∴∠O₁EC=∠O₁CE，
同理可得∠OAC=∠OCA，
∴∠O₁EC=∠OAC，
∴O₁E∥AB，
∵GF⊥AB，
∴O₁E⊥GF，
∴GF是⊙O₁的切線；
（2）連接O₁D，BC，如右圖，
設⊙O₁的半徑是r，
∵AB是⊙O₁的切線，
∴O₁D⊥AB，
∵AB=10，AD=8，
∴BD=2，OA=OB=OC=5，
在Rt△O₁OD中，OO₁²=O₁D²+OD²，
∴（5-r）²=r²+（5-2）²，
解得r=1.6，
∵∠O₁EF=∠EFD=∠FDO₁=90°，O₁E=O₁D，
∴四邊形EFDO₁是正方形，
∴EF=DF=r=1.6，
∴BF=3.6，
∴AF=10-3.6=6.4，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠EAF=∠BAC，∠AFE=∠ACB=90°，
∴△AEF∽△ABC，
∴EF：AF=BC：AC，
∴BC：AC=1.6：6.4=1：4，
設BC=x，則AC=4x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
則x²+16x²=10²，
解得x=，
故AC=．
點評：本題考查了圓的綜合題，解題的關鍵是知道相切的兩圓的圓心經過切點，注意作輔助線，構造平行線，證明△AEF∽△ABC．