Question

如圖，在□ OABC中，點(diǎn)A在x軸上，∠AOC=60^o，0C=4cm．OA=8cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)，以1cm／s的速度沿線段OA→AB運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，以

    acm／s的速度沿線段OC→CB運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

    設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

    (1)填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是(______，______)，對角線OB的長度是_______cm；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)△OPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大?   

    (3)當(dāng)點(diǎn)P在OA邊上，點(diǎn)Q在CB邊上時(shí)，線段PQ與對角線OB交于點(diǎn)M.若以O(shè)、M、P

      為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，求a與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

    解：(1)C(2，2)，OB=4cm．……………………4分

        (2)①當(dāng)0<t≤4時(shí)，

           過點(diǎn)Q作QD⊥x軸于點(diǎn)D(如圖1)，則QD=t．

           ∴S=OP·QD=t².  ………………………5分

           ②當(dāng)4≤t≤8時(shí)，

             作QE⊥x軸于點(diǎn)E(如圖2)，則QE=2.

             ∴S =DP·QE=t． ……………………6分

 

③當(dāng)8≤t<12時(shí)，

  解法一：延長QP交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PH⊥AF于點(diǎn)H(如圖3)．

  易證△PBQ與△PAF均為等邊三角形，

∴OF=OA+AP=t,AP=t-8．

∴PH=(t-8).   …………………………………7分

∴S=S_△OQF-S_△OPF

     =t·2-t·(t-8)

      =-t²+3t．    …………………………………………………………………8分

  當(dāng)t=8時(shí)，S最大．      …………………………………………………………………9分

  解法二：過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H(如圖3)．

  易證△PBQ為等邊三角形．

  ∵AP=t-8．

  ∴PH=(t-8)．    ………………………………………………………………………7分

  ∴S=S_梯形OABQ-S_△PBQ- S_△OAP

     =(20-t)- (12-t)²-2(t-8)．

    =-t²+3t．    ……………………………………………………………………8分

當(dāng)t=8時(shí)，S最大．   ……………………………………………………………………9分

  (其它解法酌情給分，如S=S_□OABC-S_△OAP- S_△OCQ - S_△PBQ )

(3)①當(dāng)△OPM～△OAB時(shí)(如圖4)，則PQ∥AB．

   ∴CQ=OP．

   ∴at-4=t，a=1+.   ………………………………10分

   t的取值范圍是0<t≤8．  …………………………11分

   

②當(dāng)△OPM～△OBA時(shí)(如圖5)，

    則，

    ∴,

    ∴OM=．   ………………………………………………………………………12分

    又∵QB∥OP，

    ∴△BQM～△OPM，

    ∴,

    ∴,

    整理得t-at=2，∴a=1-.   …………………………………………………………13分

    t的取值范圍是6≤t≤8．   

    綜上所述：a=1+(0<t≤8)或a=1-(6≤t≤8)． …………………………………14分