Question

已知：如圖，在坐標平面內，A（0，0），B（12，0），C（12，6），D（0，6），點Q沿DA邊從點D開始向點A以1單位/秒的速度移動．點P沿AB邊從點A開始向B以2單位/秒的速度移動，假設P、Q同時出發(fā)，t表示移動的時間（0≤t≤6）．
（1）寫出△PQA的面積S與t的函數關系式；
（2）四邊形APCQ的面積與t有關嗎？請說明理由；（3）當t為何值時，△PQC面積最小，并求此時△PQC的面積；
（4）△APQ能否成軸對稱圖形？若能，請求出相應的t值，并寫出其對稱軸的函數關系式；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據A，B，C，D四點的坐標可知：四邊形ABCD是個矩形，可根據P，Q的速度用時間t表示出AQ，AP的長，進而用三角形的面積公式得出S，t的函數關系式．
（2）連接AC，四邊形APCQ的面積可以分成△AQC和△APC兩部分，S_△AQC=

1

2

（6-t）•12=36-6t，S_△APC=

1

2

•2t•6=6t，因此四邊形APCQ的面積等于36與t的大小沒有關系．
（3）△PQC的面積應該等于四邊形APCQ的面積減去△QPA的面積，根據（1）（2）的結果即可得出關于△PQC面積和t的函數關系，根據函數的性質和t的取值范圍即可得出△PQC的最小面積．
（4）要使△APQ為軸對稱圖形，只有一種情況即AP=AQ時，△APQ為等腰直角三角形，那么AP=AQ，即6-t=2t，因此t=3．此時等腰直角三角形的對稱軸正好是第一象限的角平分線即y=x．

解答：解：（1）S=-t²+6t．

（2）連接AC，S_{四邊形APGQ}=S_△AQC+S_△APC=

1

2

（6-t）•12+

1

2

•2t•6=36．
四邊形APGQ的面積與t無關．

（3）由題意可知：S_△PQC=S_{四邊形APGQ}-S=36-（-t²+6t）=t²-6t+36=（t-3）²+27；
因此：當t=3時，S_△PQC最小值=27．

（4）當且僅當AQ=AP，即6-t=2t．
t=2時，△AQP是等腰直角三角形，從而是軸對稱圖形，
此時，取PQ的中點M．其坐標為（2，2）．
∴對稱軸的函數關系式為y=x．

點評：本題考查了矩形的性質、圖形面積的求法、軸對稱圖形及二次函數的綜合應用等知識點．