Question

已知二次函數(shù)y=x²+（m+3）x+m+2，當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，恒有y＜0；關(guān)于x的方程x²+（m+3）x+m+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和小于．求m的取值范圍．

Answer 1

解：①由題意可得，方程x²+（m+3）x+m+2=0與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
故有△＞0，即（m+3）²-4（m+2）＞0，
解得：m≠-1，
又y=x²+（m+3）x+m+2=（x+1）（x+m+2），
當(dāng)y＜0時(shí)，x可取兩個(gè)范圍：-1＜x＜-m-2或-m-2＜x＜-1，
而由題意得，當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，恒有y＜0，
故可得，當(dāng)y＜0時(shí)，x的取值范圍為：-1＜x＜-m-2，
也可得出-m-2＞3，
解得：m＜-5；
②由題意得，方程x²+（m+3）x+m+2=0有實(shí)數(shù)根，
故有△≥0，即（m+3）²-4（m+2）≥0，
解得：m可取任意實(shí)數(shù)，
又+==＜-，
解得：m＜-12，
綜合①②可得：m＜-12．
分析：①y=x²+（m+3）x+m+2=（x+1）（x+m+2），再由當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，恒有y＜0，可得出m的范圍；
②利用根與系數(shù)的關(guān)系，得出x₁+x₂及x₁x₂的值，根據(jù)＜-，也可得出m的取值范圍，兩個(gè)范圍結(jié)合可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)與一元二次方程解的聯(lián)系，要求熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，有一定難度．