Question

已知：如圖在平行四邊形ABCD中，對角線BD的中點為O，過點O作直線EF分別交DA的延長線、AB、DC、BC的延長線于點E、M、N、F．
（1）證明：OE=OF；
（2）若連接BE，DF，判斷四邊形BFDE的形狀（簡述理由）；
（3）若將直線EF繞O點旋轉（EF不重合于BD），四邊形BFDE的形狀如何？若四邊形BFDE為矩形，則∠DOF與∠DBF滿足怎樣的數(shù)量關系（直接給出結論即可）．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質,全等三角形的判定與性質,矩形的性質

專題：

分析：（1）證明△DOE≌△BOF，根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可證得；
（2）根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判斷；
（3）根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判斷四邊形BFDE的形狀，根據(jù)矩形的性質：對角線相等，求得OB=OF，根據(jù)等邊對等角得出∠OBF=∠OFB，最后根據(jù)三角形的外角的性質即可求得；

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠EDO=∠FBO，∠E=∠F．
在△DOE與△BOF中，

∠EDO=∠FBO ∠E=∠F OD=OB

，
∴△DOE≌△BOF（AAS）
∴OE=OF；

（2）四邊形BFDE為平行四邊形．
∵OD=OB，OE=OF
∴四邊形BFDE為平行四邊形．   

（3）將直線EF繞O點旋轉，四邊形BFDE仍為平行四邊形．
若四邊形BFDE為矩形，則∠DOF=2∠DBF．
理由：∵OD=OB，OE=OF，
∴四邊形BFDE為平行四邊形；
∵若四邊形BFDE為矩形，則EF=BD，
∴OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∵∠DOF=∠OBF+∠OFB，
∴∠DOF=2∠DBF；

點評：本題考查了平行四邊形的性質、三角形全等的判定和性質、矩形的性質等，本題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理和性質定理，以及矩形的性質定理；