Question

已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點M是BE的中點，連接CM．當(dāng)點D在AB上，點E在AC上時（如圖一），連接DM，可得結(jié)論：DC=CM．將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D在AC上（如圖二）或當(dāng)點E在BA的延長線上（如圖三）時，請你猜想DC與CM有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并選擇一種情況加以證明．

Answer 1

解：（1）DC=CM
如圖二，連接DM并延長DM交BC于N，
∵∠EDA=∠ABC=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
∵在△EMD和△CMN中，
，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，
∴BM⊥DM，∠DBM=∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD為等腰直角三角形．
∴DC=CM；
（2）DC=CM，
理由：如圖三，連接DM，作CN∥DE交DM的延長線于N，連接BN，
∴∠E=∠MCN=45°．
∵點M是BE的中點，
∴EM=CM．
∵在△EMD和△CMN中，

∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
∵∠DAE=∠BAC=∠ACB=45°，
∴∠DAB=∠NCB=90°
∵在△DBA和△NBC中
，
∴△DBA≌△NBC（SAS），
∴∠DBA=∠NBC，DB=BN，
∴∠DBN=∠ABC=90°，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，
∴BM⊥DM，∠DBM=∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD為等腰直角三角形．
∴DC=CM．
分析：（1）延長DM交BC于N，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定推出∠DEM=∠MCB，根據(jù)ASA推出△EMD≌△CMN，證出CN=AD即可；
（2）作CN∥DE交DM的延長線于N，連接BN，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠E=∠NCM，根據(jù)ASA證△DBA≌△NBC，推出△DBN是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可推出△BMD為等腰直角三角形．
點評：本題綜合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，此題綜合性比較強，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，類比思想的運用，題型較好，難度較大．