Question

如圖，四邊形ABCD，M為BC邊的中點．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，則AD的長為

1. A.
   3
2. B.
   4
3. C.
   5
4. D.
   6

Answer 1

C
分析：由∠BMD=∠BMA+∠AMD=∠C+∠CDM，∠B=∠AMD=∠C=45°，可證得△ABM∽△MCD，然后由相似等于相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可求得MC與BM的值，然后延長BA與CD交于點E，由勾股定理，即可求得AD的長．
解答：解：∵∠BMD=∠BMA+∠AMD=∠C+∠CDM，
∵∠B=∠AMD=∠C=45°，
∴∠BMA=∠CDM，
∴△ABM∽△MCD，
∴，
∵M為BC邊的中點，
∴MC=BM，
∵AB=8，CD=9，
∴BM=MC=6，
∴BC=12，
延長BA與CD交于點E，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠E=90°，BE=CE，
∴BE=CE=12，
∴AE=BE-AB=4，DE=CE-CD=3，
在Rt△AED中，AD=5．
故選C．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及三角形外角的性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．