Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)AC，BC，DB，DC．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求證：△ACO∽△DBC；
（3）如果點(diǎn)E在x軸上，且在點(diǎn)B的右側(cè)，∠BCE=∠ACO，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，3），

∴ ，

解得 ，

∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）

（2）解：∵當(dāng)y=0時(shí)，0=﹣x2+2x+3，

解得x1=﹣1，x2=3，

∴B（3，0），

又∵A（﹣1，0），D（1，4），

∴CD= ，BC=3 ，BD=2 ，AO=1，CO=3，

∴CD2+BC2=BD2，

∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，

∴∠AOC=∠DCB，

又∵ = ， = ，

∴ = ，

∴△ACO∽△DBC

（3）解：設(shè)CE與BD交于點(diǎn)M，

∵△ACO∽△DBC，

∴∠DBC=∠ACO，

又∵∠BCE=∠ACO，

∴∠DBC=∠BCE，

∴MC=MB，

∵△BCD是直角三角形，

∴∠BCM+∠DCM=90°=∠CBM+∠MDC，

∴∠DCM=∠CDM，

∴MC=MD，

∴DM=BM，即M是BD的中點(diǎn)，

∵B（3，0），D（1，4），

∴M（2，2），

設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，則

，

解得 ，

∴直線CE為：y=﹣ x+3，

當(dāng)y=0時(shí)，0=﹣ x+3，

解得x=6，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，0）．

【解析】（1）根據(jù)拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，3），即可求得b，c的值，進(jìn)而得到拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）先根據(jù)B（3，0），A（﹣1，0），D（1，4），求得CD= ，BC=3 ，BD=2 ，AO=1，CO=3，進(jìn)而得到CD2+BC2=BD2 ， 從而判定△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，最后根據(jù)∠AOC=∠DCB， = ，判定△ACO∽△DBC；（3）先設(shè)CE與BD交于點(diǎn)M，根據(jù)MC=MB，得出M是BD的中點(diǎn)，再根據(jù)B（3，0），D（1，4），得到M（2，2），最后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線CE的解析式，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解勾股定理的逆定理(如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形)，還要掌握相似三角形的判定(相似三角形的判定方法:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似； 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．