Question

【題目】如圖，在△ABC和△ADE中，點(diǎn)P是線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)（P不與B、C重合），且AD經(jīng)過(guò)P點(diǎn)；已知∠B＝∠D＝30°，BC＝DE，AB＝AD＝10，∠PAC的平分線(xiàn)與∠ACB的平分線(xiàn)交于O．

（1）∠BAD與∠CAE相等嗎？說(shuō)明其理由；

（2）若AP長(zhǎng)為m，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線(xiàn)段PD的長(zhǎng)，并求PD的最大值；

（3）當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，α°＜∠AOC＜β°，那么α＝　 　，β＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）∠BAD＝∠CAE，見(jiàn)解析；（2）PD＝10﹣m，5；（3）105,150

【解析】

（1）先利用SAS證明△ABC≌△ADE，然后得出∠BAC＝∠DAE，通過(guò)等量代換即可得出∠BAD＝∠CAE；

（2）PD＝AD﹣AP＝10﹣m，由點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上且不與B、C重合，得出AP的最小值即AP⊥BC時(shí)AP的長(zhǎng)度，此時(shí)PD可得最大值．

（3）O為△APC角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，應(yīng)用“三角形內(nèi)角和等于180°“及角平分線(xiàn)定義即可表示出∠AOC，從而得到α，β的值．

解：（1）∠BAD＝∠CAE，理由如下：

如圖所示：

在△ABC和△ADE中，，

∴△ABC≌△ADE（SAS）

∴∠BAC＝∠DAE

即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE

∴∠BAD＝∠CAE．

（2）∵AD＝10，AP＝m，

∴PD＝10﹣m

當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AP最小，則PD最大，

∴AP＝AB＝5，

∴PD＝10﹣5＝5

∴PD的最大值為5；

（3）如圖2，設(shè)∠BAP＝ ，則∠APC＝，

∵AB⊥AC，，

∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝，

∵∠PAC的平分線(xiàn)與∠ACB的平分線(xiàn)交于O，

∴∠OAC＝∠PAC，∠OCA＝∠PCA

∴

即

∴α＝105，β＝150；