【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A,C分別在x軸,y軸的正半軸上,且OA=4,OC=3,若拋物線經(jīng)過O,A兩點(diǎn),且頂點(diǎn)在BC邊上,對稱軸交AC于點(diǎn)D,動點(diǎn)P在拋物線對稱軸上,動點(diǎn)Q在拋物線上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)PO+PC的值最小時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)是否存在以A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出P,Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2+3x;(2)當(dāng)PO+PC的值最小時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,);(3)存在,具體見解析.
【解析】
試題(1)由條件可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及A點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(2) 連接PA,D與P重合時有最不值,求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可;
(3)存在,分別以PA,PC、PC,PQ、PA,PQ為一組鄰邊時,寫出坐標(biāo)即可;
試題解析:
(1)在矩形OABC中,OA=4,OC=3,
∴A(4,0),C(0,3),
∵拋物線經(jīng)過O、A兩點(diǎn),且頂點(diǎn)在BC邊上,
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2+3,
把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得0=a(4﹣2)2+3,解得a=,
∴拋物線解析式為y=(x﹣2)2+3,即y=x2+3x;
(2)連接PA,
∵點(diǎn)P在拋物線對稱軸上,∴PA=PO,∴PO+PC= PA+PC.
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時,PA+PC= AC;
當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合時,PA+PC> AC;
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時,PO+PC的值最小,
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,
根據(jù)題意,得解得
∴直線AC的解析式為,
當(dāng)x=2時,,
∴當(dāng)PO+PC的值最小時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,);
(3)存在.當(dāng)以PA,PC為一組鄰邊時,P(2,0),Q(2,3);
當(dāng)以PC,PQ為一組鄰邊時,P(2,-6),Q(6,-9);
當(dāng)以PA,PQ為一組鄰邊時,P(2,-12),Q(-2,-9).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知:關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,3),拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使△PBC為等腰三角形.若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)有一個點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動,另一個點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時出發(fā),以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)M到 達(dá)點(diǎn)B時,點(diǎn)M、N同時停止運(yùn)動,問點(diǎn)M、N運(yùn)動到何處時,△MNB面積最大,試求出最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某文化用品商店用2000元購進(jìn)一批學(xué)生書包,這批書包進(jìn)人市場后發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求,商店又購進(jìn)第二批同樣的書包,且所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的3倍,但單價貴了4元,結(jié)果第二批用了6300元.若商店銷售這兩批書包時,每個售價都是120元,全部售出后,商店共盈利多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司快遞員甲勻速騎車前往某小區(qū)送物件,出發(fā)幾分鐘后,快遞員乙發(fā)現(xiàn)甲的手機(jī)落在公司,無法聯(lián)系,于是乙勻速騎車去追趕甲.乙剛出發(fā)2分鐘時,甲也發(fā)現(xiàn)自己手機(jī)落在公司,立刻按原路原速騎車回公司,2分鐘后甲遇到乙,乙把手機(jī)給甲后立即原路原速返回公司,甲繼續(xù)原路原速趕往某小區(qū)送物件,甲乙兩人相距的路程y(米)與甲出發(fā)的時間x(分鐘)之間的關(guān)系如圖所示(乙給甲手機(jī)的時間忽略不計).則乙回到公司時,甲距公司的路程是______米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,且BE平分∠ABC,∠ABE=∠ACD,BE,CD交于點(diǎn)F.
(1)求證: ;
(2)請?zhí)骄烤段DE,CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)若CD⊥AB,AD=2,BD=3,求線段EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),以AB為邊在第一象限作正方形ABCD,頂點(diǎn)D恰好落在雙曲線y=.若將正方形沿x軸向左平移b個單位長度后,點(diǎn)C恰好落在該雙曲線上,則b的值為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(3,2),點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O對稱,BA⊥x軸于點(diǎn)A,CD⊥x軸于點(diǎn)D.
(1)求這個反比函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求△ACD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】楊梅是漳州的特色時令水果,楊梅一上市,某水果店的老板用1 200元購進(jìn)一批楊梅,很快售完;該老板又用2 500元購進(jìn)第二批楊梅,所購件數(shù)是第一批的2倍,但進(jìn)價比第一批每件多了5元.
(1)第一批楊梅每件進(jìn)價是多少元?
(2)老板以每件150元的價格銷售第二批楊梅,售出80%后,為了盡快售完,決定打折促銷,要使第二批楊梅的銷售利潤不少于320元,剩余的楊梅每件售價至少打幾折?(利潤=售價-進(jìn)價)
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