Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對(duì)角線AC、BD相交于O，且AC⊥BD，若AD+BC=4cm．
求：（1）對(duì)角線AC的長(zhǎng)；
（2）梯形ABCD的面積．

Answer 1

解：過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線DE，與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)．
（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，
∴四邊形ACED為平行四邊形，AC=DE，AD=CE，
∵AB=CD，
∴梯形ABCD為等腰梯形，
∴AC=BD，
∴BD=DE，
又AC⊥BD，
∴∠BOC=90°
∵AC∥DE
∠BDE=90°，
∵BE=BC+CE=BC+AD=4，
根據(jù)勾股定理得：BD²+DE²=BE²，
即2BD²=（4）²，
解得BD=4，
即AC=4cm；

（2）∵AC⊥BD，AC=BD=4，
∴S_梯形ABCD=×AC×BD=8cm²．
分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線DE，與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，利用梯形的性質(zhì)平移對(duì)角線AC，由題意可知，兩條對(duì)角線與上、下底的和構(gòu)成等腰直角三角形，已知斜邊BE=AD+BC=4，可求直角邊DE的長(zhǎng)，即AC長(zhǎng)；
（2）當(dāng)四邊形對(duì)角線互相垂直時(shí)，四邊形的面積等于兩條對(duì)角線積的一半，由此進(jìn)行計(jì)算．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形常用作輔助線的方法：平移一條對(duì)角線，使梯形的兩條對(duì)角線，上、下底的和圍成三角形，再根據(jù)梯形其它條件解題．