【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+(1-m)x-m交x軸于A,B兩點(點A在點B的左邊),交y軸負(fù)半軸于點C.
(1)如圖1,m=3
①直接寫出A,B,C三點的坐標(biāo);
②若拋物線上有一點D,∠ACD=45°,求點D的坐標(biāo);
(2)如圖2,過點E(m,2)作一直線交拋物線于點P,Q兩點,連接AP,AQ,分別交y軸于M,N兩點,求證:OMON是一個定值.
【答案】(1)①A(-1,0),B(3,0),C(0,-3);②D(4,5);(2)見解析.
【解析】
(1)①將m=3代入拋物線y=x2+(1-m)x-m,得y=x2-2x-3,分別令x=0,y=0,即可得出A、B、C三點的坐標(biāo);
②過A作AK⊥AC交CD于點K,作KH⊥x軸于點H,證明△OAC≌△HKA,可得K(2,1),用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式,與拋物線聯(lián)立解即可得出D的坐標(biāo);
(2)由題意,可得A(-1,0),B(m,0),設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),因為直線PQ過點E(m,2),可得其解析式為y=ax+2-am,與拋物線聯(lián)立并消去y,得:x2+(1-m-a)x+am-m+2=0,所以x1+x2=a+m-1,x1x2=am-m-2,作PS⊥x軸于點S,作QT⊥x軸于點T,證明△AMO∽△APS,可得OM=x1-m,同理ON=-(x2-m),代入計算OMON,即可得出OMON是一個定值.
解:(1)①當(dāng)m=3時,y=x2+(1-3)x-3 =x2-2x-3,
當(dāng)x=0時,y=-3,
當(dāng)y=0時,x2-2x-3=0,
解得:x=-1或x=3,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3);
②如圖1,過A作AK⊥AC交CD于點K,作KH⊥x軸于點H,
∵∠ACD=45°,
∴AC=AK,
∵∠AOC=∠KHA=90°,∠ACO=90°-∠OAC=∠KAH,
∴△OAC≌△HKA(AAS),
∴AH=CO=3,KH=OA=1,
∴K(2,1),
設(shè)直線CD的解析式為y=kx-3
∴2k-3=1,
∴k=2,
∴設(shè)直線CD的解析式為y=2x-3,
聯(lián)立,
解得x=0(舍去),或x=4,
∴D(4,5);
(2)∵y=x2+(1-m)x-m,
當(dāng)y=0時,x2+(1-m)x-m=0,
解得x=-1或x=m,
∴A(-1,0),B(m,0),
∵過點E(m,2)作一直線交拋物線于P、Q兩點,
設(shè)直線PQ的解析式為y=ax+b,P(x1,y1),Q(x2,y2),
∴2=am+b,b=2-am,
∴直線PQ的解析式為y=ax+2-am,
聯(lián)立 ,
消去 y,得:x2+(1-m-a)x+am-m-2=0,
∴x1+x2=a+m-1,x1x2=am-m-2,
如圖2,作PS⊥x軸于點S,作QT⊥x軸于點T,
∴PS∥y軸,
∴△AMO∽△APS,
∴,即 ,
∴OM=x1-m,
同理,ON=-(x2-m),
∴OMON=-(x1-m)(x2-m)=[x1x2m(x1+x2)+m2]=-[am-m-2-m(a+m-1)+m2]=2,為定值.
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點.
(1)求點A、B、C的坐標(biāo);
(2)點M(m,0)為線段AB上一點(點M不與點A、B重合),過點M作x軸的垂線,與直線AC交于點E,與拋物線交于點P,過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q,過點Q作QN⊥x軸于點N,可得矩形PQNM.如圖,點P在點Q左邊,試用含m的式子表示矩形PQNM的周長;
(3)當(dāng)矩形PQNM的周長最大時,m的值是多少?并求出此時的△AEM的面積;
(4)在(3)的條件下,當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時,連接DQ,過拋物線上一點F作y軸的平行線,與直線AC交于點G(點G在點F的上方).若FG=2DQ,求點F的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=x2-(2m-1)x+m2-m(m是常數(shù))
(1)當(dāng)m=2時,求二次函數(shù)圖象與x軸的交點;
(2)若A(n-3,n2+2),B(-n+1,n2+2)是該二次函數(shù)圖象上的兩個不同點,求m的值和二次函數(shù)解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A、P、B為⊙O上的三點,
(1)在優(yōu)弧AmB上求作一點C,使得 (尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)在(1)的條件下,若∠APB=120°,連接AC,BC,求證:△ABC是等邊三角形.
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【題目】某商場經(jīng)營某種品牌的玩具,購進(jìn)時的單價是20元,根據(jù)市場調(diào)查:在一段時間內(nèi),銷售單價是30元時,銷售量是500件,而銷售單價每上漲1元,就會少售出10件玩具.
(1)不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價為x元(x>30),請你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得利潤w元,并把結(jié)果填寫在表格中:
銷售單價(元) | x(x>30) |
銷售量y(件) |
|
銷售玩具獲得利潤w(元) |
|
(2)在第(1)問的條件下,若商場獲得了8750元銷售利潤,求該玩具銷售單價x應(yīng)定為多少元?
(3)在第(1)問的條件下,若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價不低于32元,且商場要完成不少于400件的銷售任務(wù),求:商場銷售該品牌玩具獲得最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線的對稱軸為直線,且經(jīng)、兩點.
求拋物線的解析式;
在拋物線的對稱軸上,是否存在點,使它到點的距離與到點的距離之和最小,如果存在求出點的坐標(biāo),如果不存在請說明理由.
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【題目】已知:如圖,在中,分別是、的中點,分別是對角線上的四等分點,順次連接.
(1)求證:四邊形是平行四邊形;
(2)當(dāng)滿足____ 條件時,四邊形是菱形;
(3)若,
①探究四邊形的形狀,并說明理由;
②當(dāng)時,直接寫出四邊形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,,,動點P以的速度從A點出發(fā),沿向C點移動,同時動點Q以的速度從點C出發(fā),沿向點B移動,設(shè)P、Q兩點移動的時間為t秒.
(1)t為多少時,以P、Q、C為頂點的三角形與相似?
(2)在P、Q兩點移動過程中,四邊形與的面積能否相等?若能,求出此時t的值;若不能,請說明理由.
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