Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，EF∥GH，且EF與GH之間的距離等于a．
（1）如圖1，若EF經(jīng)過A，GH與BC、CD分別交于點(diǎn)I、J．作AP⊥GH，垂足為P．求證：△API≌△ABI，且∠IAJ=45°；
（2）如圖2，若EF與AD、AB分別相交于點(diǎn)K、L，GH與BC、CD分別相交于點(diǎn)I、J，IK與JL相交于點(diǎn)M．作KP⊥GH，垂足為P，作KQ⊥BC，垂足為Q．求證：△KPI≌△KQI，且∠IMJ=45°．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由正方形的性質(zhì)就可以得出AB=BC=CD=DA=a，∠B=∠D=90°，就可以得出AD=AP=AB=a，由HL就可以得出△API≌△ABI，就可以得出∠BAI=∠PAI=

1

2

∠BAP，再由△APJ≌△ADJ就可以得出∠DAJ=∠PAJ=

1

2

∠DAP就可以得出結(jié)論；
（2）由正方形的性質(zhì)就可以得出AB=BC=CD=DA=a，∠B=∠D=90°，就可以得出AD=AP=AB=a，由HL就可以得出△API≌△ABI，就有∠JIM=∠MIS，如圖3，作MR⊥CD于R，MS⊥BC于S，MO⊥JI于O，可以得出△MOI≌△MSI，就有∠OMI=∠IMS，△RMJ≌△OMJ得出∠RMJ=∠OMJ，從而得出結(jié)論．

解答：證明：（1）如圖1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=a．
∵AP⊥GH，
∴∠ABI=∠API=∠BAD=∠APJ=90°．
∵EF與GH之間的距離等于a
∴AP=AB=AD=a．
在RT△ABI和RT△API中，

AI=AI AB=AP

，
∴RT△ABI≌RT△API（HL）
即△API≌△ABI．
∴∠BAI=∠PAI=

1

2

∠BAP．
在Rt△APJ和Rt△ADJ中

AJ=AJ AP=AD

，
∴Rt△APJ≌Rt△ADJ（HL）
∴∠DAJ=∠PAJ=

1

2

∠DAP．
∵∠BAP+∠DAP=90°
∴∠IAJ=∠PAI+∠PAJ=

1

2

（∠BAP+∠DAP）=45°；
（2）如圖2，∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=a，∠B=∠D=∠DAB=90°．
∵KP⊥GH，KQ⊥BC，
∴∠KPI=∠KQI=∠KQB=90°．
∴∠B=∠AQB=∠DAB=90°，
∴四邊形KABQ為矩形，
∴KQ=AB．
∵EF與GH之間的距離等于a
∴KP=AB=a．
∴KP=KQ．
在RT△KPI和RT△KQI中，

KI=KI KP=KQ

，
∴Rt△KPI≌Rt△KQI（HL）
如圖3，作MR⊥CD于R，MS⊥BC于S，MO⊥JI于O，
∴∠MRJ=∠MOJ=∠MOI=∠MSI=90°．
∵Rt△KPI≌Rt△KQI，
∴∠JIM=∠MIS．
在△MOI和△MSI中，

∠MOI=∠MSI ∠JIM=∠MIS MI=MI

，
∴△MOI≌△MSI（AAS）．
∴∠OMI=∠IMS．
同理可得△RMJ≌△OMJ，
∴∠RMJ=∠OMJ，
∵∠IMJ=∠IMO+∠JMO，
∴∠IMJ=

1

2

（∠RMO+∠OMS）．
∵∠RMO+∠OMS=90°
∴∠IMJ=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．