在矩形ABCD中,點(diǎn)F在AD延長(zhǎng)線上,且DF=DC,M為AB邊上一點(diǎn),N為MD的中點(diǎn),點(diǎn)E在直線CF上(點(diǎn)E、C不重合).
(1)如圖1,若AB=BC,點(diǎn)M、A重合,E為CF的中點(diǎn),試探究BN與NE的位置關(guān)系及的值,并證明你的結(jié)論;
(2)如圖2,且若AB=BC,點(diǎn)M、A不重合,BN=NE,你在(1)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否成立?若成立,加以證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖3,若點(diǎn)M、A不重合,BN=NE,你在(1)中得到的結(jié)論兩個(gè)是否成立,請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論.

【答案】分析:(1)易證四邊形ABCD是正方形,證明△NGE≌△BAN,即可得到∠1+∠3=90°,則BN⊥NE,然后根據(jù)三角函數(shù)即可利用正方形的邊長(zhǎng)表示吃CE的長(zhǎng)度,則可以得到的值;
(2)延長(zhǎng)BN交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接BE、GE,過(guò)E作EH⊥CE,易證△BMN≌△GDN,則可以證得NE是△BGE邊上的中線,且NE=BG,從而得到△BGE是直角三角形,從而得到BN⊥NE,然后證明△CHE是等腰直角三角形,而B(niǎo)M=CH,即可證得;
(3)同(2)可以延長(zhǎng)BN交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接BE、GE,過(guò)E作EH⊥CE,可以證得NE是△BGE邊上的中線,且NE=BG,從而得到△BGE是直角三角形,然后證明△NGE≌△BAN,從而得到BN⊥NE;當(dāng)AB≠BC時(shí),E,C,D不在一條直線上,因而比值的關(guān)系不成立.
解答:解:(1)BN與NE的位置關(guān)系是BN⊥NE;=
證明:如圖,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AF于G,則∠EGN=90°.
∵矩形ABCD中,AB=BC,
∴矩形ABCD為正方形.
∴AB=AD=CD,∠A=∠ADC=∠DCB=90°.
∴EG∥CD,∠EGN=∠A,∠CDF=90°.   
∵E為CF的中點(diǎn),EG∥CD,
∴GF=DG=

∵N為MD(AD)的中點(diǎn),
∴AN=ND=
∴GE=AN,NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB.
∴△NGE≌△BAN.
∴∠1=∠2.
∵∠2+∠3=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∴∠BNE=90°.
∴BN⊥NE.      
∵∠CDF=90°,CD=DF,
可得∠F=∠FCD=45°,
于是

(2)在(1)中得到的兩個(gè)結(jié)論均成立.
證明:如圖,延長(zhǎng)BN交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接BE、GE,過(guò)E作EH⊥CE,
交CD于點(diǎn)H.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB∥CG.
∴∠MBN=∠DGN,∠BMN=∠GDN.
∵N為MD的中點(diǎn),
∴MN=DN.
∴△BMN≌△GDN.
∴MB=DG,BN=GN.
∵BN=NE,
∴BN=NE=GN.
∴∠BEG=90°.               
∵EH⊥CE,
∴∠CEH=90°.
∴∠BEG=∠CEH.
∴∠BEC=∠GEH.
由(1)得∠DCF=45°.
∴∠CHE=∠HCE=45°.
∴EC=EH,∠EHG=135°.
∵∠ECB=∠DCB+∠HCE=135°,
∴∠ECB=∠EHG.
∴△ECB≌△EHG.
∴EB=EG,CB=HG.
∵BN=NG,
∴BN⊥NE.
∵BM=DG=HG-HD=BC-HD=CD-HD=CH=CE,
=;

(3)BN⊥NE;不一定等于
證明:可以延長(zhǎng)BN交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接BE、GE,過(guò)E作EH⊥CE.GE交AD于點(diǎn)Q.
同(2)可以證得:△BMN≌△GDN,
則BN=NG=NE,則△BEG是直角三角形,∠BEG=90°,
與(2)相同,可證:△ECB≌△ECG,
∴EB=EG,CB=CG.
∵BN=NG,
∴BN⊥NE.
同(2)可得:GQ=CE≠DG=BM,
不一定等于(只有當(dāng)Q與D重合時(shí)才相等).
點(diǎn)評(píng):本題是正方形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,正確證明邊之間的關(guān)系,正確作出輔助線是關(guān)鍵.
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AB
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(1)求證:△ADP∽△ABQ;
(2)若AD=10,AB=20,點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng),設(shè)DP=x,BM2=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求線段BM的最小值;
(3)若AD=10,AB=a,DP=8,隨著a的大小的變化,點(diǎn)M的位置也在變化.當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí),求a的取值范圍.

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