Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP=，∠A=30度．
（1）求劣弧的長；
（2）若∠ABD=120°，BD=1，求證：CD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求劣弧的長，只需求出∠AOC的度數即可，根據∠A=30°結合圓周角定理，易得∠AOC=120°，故可求得答案；
（2）已知CD與圓交于點C，只需證明OC⊥CD即可．
解答：（1）解：延長OP交AC于E，
∵P是△OAC的重心，OP=，
∴OE=1，（1分）
且E是AC的中點．
∵OA=OC，∴OE⊥AC．
在Rt△OAE中，∵∠A=30°，OE=1，
∴OA=2．（2分）
∴∠AOE=60度．
∴∠AOC=120度．（3分）
∴=π；（4分）

（2）證明：連接BC．
∵E、O分別是線段AC、AB的中點，
∴BC∥OE，且BC=2OE=2=OB=OC．
∴△OBC是等邊三角形．（5分）
法1：∠OBC=60度．
∵∠OBD=120°，∴∠CBD=60°=∠AOE．（6分）
∵BD=1=OE，BC=OA，
∴△OAE≌△BCD．（7分）
∴∠BCD=30度．
∵∠OCB=60°，
∴∠OCD=90度．（8分）
∴CD是⊙O的切線．（9分）

法2：過B作BF∥DC交CO于F．
∵∠BOC=60°，∠ABD=120°，
∴OC∥BD．（6分）
∴四邊形BDCF是平行四邊形．（7分）
∴CF=BD=1．
∵OC=2，
∴F是OC的中點．
∴BF⊥OC．（8分）
∴CD⊥OC．
∴CD是⊙O的切線．（9分）
點評：本題考查弧長的求法與切線的判定方法．