Question

如圖，AC是⊙O的直徑，BC切⊙O于點C，AB交⊙O于點D，連接DO，并延長交BC的延長線于點E．過D作⊙O的切線交BC于點F．
（Ⅰ）求證：F是BC的中點；
（Ⅱ）若BC=2，且S_△DBF：S_△DCE=3：2，求AD：DB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓周角定理，得出CD⊥AC；根據切線長定理求得FD=FC，即∠FDC=∠FCD，由于等角的余角相等，可得出∠FDB=∠B，由此可證得FD=FB=FC；
（2）由于△DBF與△DCE等高，因此它們的面積比等于底邊比，即BF：CE=3：2；由此可求得BF、FC、CE的長；由切割線定理，得：EH²=EH•ED，根據勾股定理可在Rt△FED中求得ED的長，由此可求出ED、DH的長，也就求出了AC的長，進而可求出AB的長；根據切割線定理即可求出BD、AD的長，由此得解．
解答：（Ⅰ）證明：∵AC為⊙O的直徑，
∠BDC=∠ADC=90°．
∵FD、FC是⊙O的切線，
∴FD=FC．
∴∠FDC=∠FCD．
又∵∠FDB+∠FDC=∠B+∠FCD=90°，
∴∠FDB=∠B．
∴FD=FB，
∴FB=FC．
∴F是BC中點．

（Ⅱ）解：∵S_△DBF：S_△DCE=3：2，
又∵△DBF邊BF上的高與△DCE邊CE上的高相等，
∴BF：CE=3：2．
又BC=2，F是BC中點，
∴BF=FC=1，∴CE=．
方法一：在Rt△DFE中，
∵DF=1，EF=1+=，
∴DE=，
設DE交⊙O于H，則
CE²=EH•ED，
∴（）²=EH；
∴EH=；
∴DH=-=1；
∴AC=1．
在Rt△ABC中，
AB=；
∵BC切⊙O于C，∴BD•AB=BC²=4；
∴BD=AD=；
∴．

方法二：設=k，則可設AD=km，DB=m，
∴AB=（k+1）m，
∵BC²=BD•BA，
∴（k+1）m²=4，
∴m=．
∴AC=，
∴OC=．
設DE交⊙O于H，EH=x，
由切割線定理，得
EC²=EH•ED，
即=x•（x+2）．
∵∠OCE=∠EDF=90°，∠E=∠E，
∴Rt△OCE∽Rt△FDE．
∴，即=，x=；
代入（*）式，得
，∴
故AD：DB=1：4．
點評：本題考查的是切割線定理，切線的性質定理，勾股定理．