Question

如圖，在△ABC中，AB=6，BC=4，點D在邊BC的延長線上，∠ADC=∠BAC，點E在邊BA的延長線上，∠E=∠DAC．
（1）找出圖中的相似三角形，并證明；
（2）設(shè)AC=x，DE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）△AED能否與△ABC相似？如果能夠，請求出cosB的值；如果不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）△ABC∽△DBA，△CAD∽△AED．
證明如下：∵∠B=∠B，∠ADC=∠BAC，
∴△ABC∽△DBA；
∵∠BAC+∠DAC=∠BAD=∠ADE+∠E，∠DAC=∠E，
∴∠BAC=∠ADE=∠ADC，
∴△CAD∽△AED；

（2）∵△ABC∽△DBA，
∴，
∴DA=，
∴BD==9．
∴CD=5．
∵△CAD∽△AED，
∴．
∴DE•CD=DA²，
∴，
∴函數(shù)解析式為y=，定義域為2＜x＜10；

（3）△AED能與△ABC相似．
∵∠BAC=∠ADE=∠ADC，∠BCA＞∠ADC=∠ADE，∠BCA＞∠CAD=∠E，
∴只有∠B=∠E=∠DAC時，△AED與△ABC相似．
這時，由于∠B+∠BAC+∠CAD+∠ADC=180°，
∴∠BAC+∠DAC=90°，
∴∠ACB=∠BAD=90°，
∴cosB=．
分析：（1）△ABC∽△DBA，△CAD∽△AED，由∠B=∠B，∠ADC=∠BAC可以證明△ABC∽△DBA；而∠BAC+∠DAC=∠BAD=∠ADE+∠E，由此得到∠DAC=∠E，這樣就∠BAC=∠ADE=∠ADC可以證明△CAD∽△AED；
（2）首先由△ABC∽△DBA可以得到，從而可以用x表示DA，并且求出BD，CD=5，由△CAD∽△AED，得到，即DE•CD=DA²，由此得到，這樣求出函數(shù)解析式，然后也可以求出定義域；
（3）△AED能與△ABC相似．首先利用已知條件討論相似的情況，得到只有△AED與△ABC相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)和已知條件得到這時∠ACB=∠BAD=90°，最后利用三角函數(shù)的定義即可求解．
點評：此題既考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，也考查了三角函數(shù)的定義，同時也考查了求函數(shù)解析式，綜合性比較強，解題的關(guān)鍵是多次利用相似三角形的性質(zhì)與判定，然后利用三角函數(shù)解決問題．