Question

【題目】如圖1，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的運(yùn)動速度相同，連接AQ、CP交于點M．
（1）求證：△ABQ≌△CAP；
（2）如圖1，當(dāng)點P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動時，∠QMC變化嗎？若變化，請說理由；若不變，求出它的度數(shù)．
（3）如圖2，若點P、Q在分別運(yùn)動到點B和點C后，繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動，直線AQ、CP交點為M，則∠QMC=度．（直接填寫度數(shù)）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，

又∵點P、Q運(yùn)動速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ與△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP（SAS）

（2）解：點P、Q在運(yùn)動的過程中，∠QMC不變．

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，

∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°

（3）120
【解析】解：（3）∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．
故答案為：120°．
（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABQ≌△CAP；（2）由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=60°；（3）由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=120°．