Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+1交y軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B（4，0），與過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)相交于另一點(diǎn)D（3，），過(guò)點(diǎn)D作DC⊥x軸，垂足為C．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P在線(xiàn)段OC上（不與點(diǎn)O，C重合），過(guò)P作PN⊥x軸，交直線(xiàn)AD于M，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N，NE⊥AD于點(diǎn)E，求NE的最大值；

（3）若P是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)OP的長(zhǎng)為t．是否存在t，使以點(diǎn)M，C，D，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+1；（2）；（3）t＝時(shí)，以點(diǎn)M，C，D，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

【解析】

（1）把B（4，0），點(diǎn)D（3，）代入y=ax2+bx+1即可得出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）先用含t的代數(shù)式表示P、M坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式求出△PCM的面積與t的函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用配方法可求出△PCM面積的最大值；
（3）若四邊形DCMN為平行四邊形，則有MN=DC，故可得出關(guān)于t的二元一次方程，解方程即可得到結(jié)論．

（1）將點(diǎn)B、D的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：

，解得：，

則函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+1；

（2）設(shè)直線(xiàn)AD函數(shù)表達(dá)式為：y＝mx+n，將點(diǎn)A（0，1）、D （3，）代入得：

解得：

∴直線(xiàn)AD的表達(dá)式為：y＝x+1，

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1）

設(shè)直線(xiàn)AD 與x軸交于H點(diǎn)，則H(-2，0)

∴tan∠AHO=，

∵PN⊥x軸， NE⊥AD

則tan∠ENP=an∠AHO=，則cos∠ENP=，

設(shè)點(diǎn)N（m，﹣m2+m+1）、點(diǎn)M（m+1），

則NE=MNcos∠ENP=（﹣m2+m+1﹣m﹣1）=﹣（m﹣）2+，

故當(dāng)m=時(shí)，則NE的最大值為；

（3）設(shè)：OP＝t，則點(diǎn)M（t， t+1）、N（t，﹣t2+t+1），

∴|MN|=|-t2+t+1-t-1|=|-t2+t|，CD=，
如圖1，如果以點(diǎn)M、C、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴MN=CD，即-t2+t=，整理得：3t2-9t+10=0，
∵△=-39，
∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴此種情況不存在t，
如圖2，如果以點(diǎn)M、C、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴MN=CD，即t2-t=，
∴t=或（負(fù)值舍去），
∴當(dāng)t=時(shí)，以點(diǎn)M、C、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．