Question

【題目】如圖,已知:直線與雙曲線交于A.B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4, 若雙曲線上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，連接AC.

(1)填空: k的值為_______; 點(diǎn)B的坐標(biāo)為___________;點(diǎn)C的坐標(biāo)為___________.

(2)直接寫出關(guān)于的不等式的解集.

(3)求三角形AOC的面積

(4) 若在x軸上有點(diǎn)M，y軸上有點(diǎn)N，且點(diǎn)M.N.A.C四點(diǎn)恰好構(gòu)成平行四邊形，直接寫出點(diǎn)M.N的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）k=8 ，B(-4，-2)，C(1，8) ；（2） ；（3） 15；（4）M(3,0)、N(0,6)或M(-3,0)、N(0,-6)

【解析】分析：（1）由直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，代入正比例函數(shù)，可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，繼而求得k值，把C的縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，即可得到C的坐標(biāo)；根據(jù)對(duì)稱性，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）結(jié)合圖象，即可求得關(guān)于x的不等式的解集；

（3）首先過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥軸于點(diǎn)E，可得S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC﹣S△AOE=S梯形AEDC，又由雙曲線上有一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而求得答案；

（4）由當(dāng)MN∥AC，且MN=AC時(shí)，點(diǎn)M、N、A、C四點(diǎn)恰好構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平移的性質(zhì)，即可求得答案．

詳解：（1）∵直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為：y=×4=2，∴點(diǎn)A（4，2），∴2=，∴k=8，∴；把y=8代入，解得：x=1，∴C（1，8）．

∵直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，∴B（﹣4，﹣2）；

（2）由圖象可知：關(guān)于x的不等式的解集為：﹣4≤x＜0或x≥4；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E．

∵雙曲線上有一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，∴把y=8代入y=，得：x=1，∴點(diǎn)C（1，8），∴S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC﹣S△AOE=S梯形AEDC=×（2+8）×（4﹣1）=15；

（4）如圖，當(dāng)MN∥AC，且MN=AC時(shí)，點(diǎn)M、N、A、C四點(diǎn)恰好構(gòu)成平行四邊形．

∵點(diǎn)A（4，2），點(diǎn)C（1，8），∴根據(jù)平移的性質(zhì)可得：M（3，0），N（0，6）或M′（﹣3，0），N′（0，﹣6）．