Question

已知△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，動點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度，沿CA、AB運(yùn)動到B點(diǎn)．
（1）設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始運(yùn)動的路程為xcm，△BCP面積是ycm²，把y表示成x的函數(shù)；
（2）是否存在點(diǎn)P，使S_△BCP=

1

4

S_△ABC？若存在，求出此時從C出發(fā)到P的時間；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)情況進(jìn)行討論，第一種情況：P點(diǎn)在AC上，那么y=

1

2

BC•x，即y=3x；第二種情況：P點(diǎn)在AB上，那么根據(jù)勾股定理求出AB=10，然后作出BP的高，通過求證三角形相似，求出高的值，即可推出函數(shù)式．
（2）首先求出△ABC的面積，即可確定△BCP的面積，然后根據(jù)（1）的結(jié)論，即可推出路程x的值，再根據(jù)P點(diǎn)的運(yùn)動速度，便可求出運(yùn)動時間．

解答：解：（1）①當(dāng)0＜x≤8時，即當(dāng)0＜P點(diǎn)在AC上，
∴PC=x，
∵∠ACB=90°，BC=6cm，
∵△BCP的面積為ycm²，
∴y=

1

2

BC•x，
即y=3x；
②當(dāng)8＜x＜18時，P點(diǎn)在AB上，
∵∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=10，
∴BP=18-x，
作CD⊥AB，
∴△ABC∽△CBD，
∴AC：CD=AB：BC，
∴CD=

24

5

，
∵△BCP的面積為ycm²，
∴y=（18-x）•

24

5

×

1

2

，
∴y=-

12

5

（18-x）；

（2）∵BC=6cm，AC=8cm，
∴△ABC的面積=24cm²，
∴△BCP的面積為：24×

1

4

=6，
①P點(diǎn)在AB上，
∴6=-

12

5

（18-x）
解得：x=

31

2

，
∵點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)的速度為1cm/秒，
∴

31

2

÷1=

31

2

秒，
∴從C點(diǎn)出發(fā)

31

2

秒鐘時，△BCP的面積為△ABC的

1

4

；
②P點(diǎn)在AC上，
∴6=3x，
∴x=2，
∵點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)的速度為1cm/秒，
∴2cm÷1cm/秒=2秒，
∴從C點(diǎn)出發(fā)2秒鐘時，△BCP的面積為△ABC的

1

4

，
答：從C點(diǎn)出發(fā)2秒或

31

2

秒鐘時，△BCP的面積為△ABC的

1

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵在于分情況進(jìn)行討論，求出y關(guān)于x的解析式．