Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC、EF是⊙O的弦，且EF垂直AB于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，CD與FE延長線交于D點(diǎn)，CD=DH．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若H為BC中點(diǎn)，AB=10，EF=8，求CD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）要求證：DC是圓O的切線，只要證明OC⊥PC即可．
（2）AB與EF是兩條相交的弦，根據(jù)相交弦定理得到AG•BG=EG²即（AB-BG）BE=16即BG²-10BG+16=0，就可以求出BG的長．進(jìn)而求出BC，就可以求出sinA的值．

解答：解：（1）連接OD、OC相交于M，
∵∠ACB=90°，CO=AO，
∴∠ACO=∠CAO，∠CAO+∠B=90°，∠B+∠BHG=90°．
∴∠CAO=∠BHG．
∵DC=DH，
∴∠DCH=∠DHC．
∴∠DCH=∠ACO．
∴∠DCH+∠HCO=∠ACO+∠OCH=90°．
∴OC⊥PC．
即DC為切線．
（2）∵AB=10，EF=8，EF垂直AB，
∴EG=4=GF．
∴OG=3，
∴BG=2．
連接OH，
∵H為BC中點(diǎn)，
∴OH⊥BC，
∴△BHG∽△BHG，
∴BH²=BG•BO=2×5=10，
∴BH=

10

=CH，
同理得：HG=

6

，
cos∠BHG=

HG

BH

=

6

10

=

15

5

．
又∵∠DCH=∠DHC=∠BHG，
∴

1 2 CH

CD

=cos∠DCB=cos∠BHG=

15

5

，
∴CD=

5 6

6

．

點(diǎn)評(píng)：考查了切線的判定．證明一條直線是圓的切線，只要證明直線經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)，且垂直于這條半徑就可以．證明線段的積相等的問題可以轉(zhuǎn)化為三角形相似的問題．