Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，∠ACB的平分線交AB于點O，以O為圓心的⊙O與AC相切于點D．
（1）求證：⊙0與BC相切；
（2）當AC=2時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證⊙0與BC相切，只要證明點O到BC的距離等于圓的半徑即可，作出點O到BC的距離，利用角平分線的性質(zhì)可以進行證明；
（2）由AC=2，AC+BC=8可求出BC，觀察圖形發(fā)現(xiàn)S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC，可利用面積法求得圓的半徑．
解答：解：（1）過點O作OF⊥BC，垂直為F，連接OD，
∵AC是圓的切線，
∴OD⊥AC，
又OC為∠ACB的平分線，
∴OF=OD，
∴BC與⊙0相切；

（2）由（1）知BC與⊙0相切，
∵D、F為切點，
∴OD⊥AC，OF⊥BC，OD=OF，
S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC
=AC•BC=AC•OD+BC•OF
∵AC+BC=8，AC=2，
∴BC=6，
∴×2×6=×2×OD+×6×OF，
而OD=OF．
∴OD=，
即⊙O的半徑為．
點評：本題考查了切線的判定及性質(zhì)；利用等積法求圓的半徑是很巧妙的方法，也比較重要，希望同學們認真掌握．