Question

如圖，有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線狀，MN=4分米，拋物線頂點處到邊MN的距離是4分米，要在鐵皮上截下一矩形ABCD，使矩形頂點B、C落在邊MN上，A、D落在拋物線上，問這樣截下的矩形鐵皮的周長能否等于8分米？

Answer 1

【答案】分析：以MN為x軸，其中點O為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，得出M、N及拋物線頂點坐標(biāo)，從而求出拋物線的解析式，設(shè)A（x，y），建立含x的方程，矩形鐵皮的周長能否等于8分米，取決于求出x的值是否在已求得的拋物線解析式中自變量的取值范圍內(nèi)．
解答：解：如圖，以MN為x軸，其中點為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，
由此可得點M、N、P的坐標(biāo)為M（-2，0），N（2，0），P（0，4）；
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+4，代入點N（2，0），
得4a+4=0，解得a=-1，
故拋物線解析式為y=-x²+4，
設(shè)A點的坐標(biāo)為（x，y），則AB=CD=y，AD=BC=2x，
因此矩形鐵皮的周長l=-2x²+4x+8（0＜x＜2），
若l=8，即-2x²+4x+8=8，
解得x₁=0，x₂=2；
矛盾，故l不可能是8．
∴這樣截下的矩形鐵皮的周長不能等于8分米．
點評：此題考查把一個實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，需要觀察分析、建模，建立直角坐標(biāo)系下的函數(shù)模型是解決實際問題的常用方法，同一問題有不同的建模方式，通過分析比較可獲得簡解．