Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=．
（1）在邊CD上找一點E，使EB平分∠AEC，并加以說明；
（2）若P為BC邊上一點，且BP=2CP，連接EP并延長交AB的延長線于F．
①求證：點B平分線段AF；
②△PAE能否由△PFB繞P點按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到？若能，加以證明，并求出旋轉(zhuǎn)度數(shù)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用E是CD的中點，再加上已知邊的長，得出∠AED的余弦為，根據(jù)反三角函數(shù)，可知∠AED=60°，同理可知∠CEB=60°，從而求出∠AEB=∠CEB=60°，即EB平分∠AEC．
（2）利用平行線分線段成比例定理，可以得到CE：BF=CP：BP=1：2，即BF=2CE，又AB=CD=2CE，所以點B平分線段AF．因為P是三分點，結(jié)合已知邊的長，可求出CP和BP的值，再利用勾股定理，可分別求出EP和BP，從而得出EP=BP，再利用SAS可證明△PAE≌△PFB，通過觀察可知，∠BPE（或∠APF）就是順時針旋轉(zhuǎn)的角度．
解答：解：（1）當E為CD中點時，EB平分∠AEC，
由∠D=90°，DE=1，AD=，
推得∠DEA=60°，
同理，∠CEB=60°，從而∠AEB=60°，即EB平分∠AEC；

（2）①∵CE∥BF，BP=2CP，
∴==，
∴BF=2CE，
在△ADE與△BCE中，，
∴△ADE≌△BCE（AAS），
∴DE=CE，
∴AB=CD=2CE，
∴AB=BF，
即點B平分線段AF；

②能．
證明：∵CP=，CE=1，∠C=90°，
∴EP=．
在Rt△ADE中，AE==2，
∴AE=BF，
又∵PB=，
∴PB=PE，
∵∠AEP=∠PBF=90°，
∴△PAE≌△PFB，
∴△PAE可以△PFB按照順時針方向繞P點旋轉(zhuǎn)而得到，
旋轉(zhuǎn)度數(shù)為120°．
點評：本題利用了反三角函數(shù)求角，以及平行線分線段成比例定理、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等有關知識．