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    1. 
      
      
      精英家教網(wǎng)如圖,等邊△ABC的面積為S,⊙O是它的外接圓,點(diǎn)P是
      BC
      的中點(diǎn).
      (1)試判斷過點(diǎn)C所作⊙O的切線與直線AB是否相交,并證明你的結(jié)論;
      (2)設(shè)直線CP與AB相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BE⊥CD,垂足為E,證明BE是⊙O的切線,并求△BDE的面積.
      分析:(1)作⊙O的切線CF,判斷出∠BCF=∠ABC,得到CF∥AB,可知CF與直線AB不相交.
      (2)OB是圓O直徑,證出∠HBE=90°,可得BE是⊙O的切線,并將S△BDE轉(zhuǎn)化為S△BCE
      解答:精英家教網(wǎng)解:(1)CF是⊙O的切線,(如圖)
      CF與直線AB不相交.(1分)
      證明:∵CF是⊙O的切線,
      ∴∠BCF=∠A,(3分)
      ∵△ABC是等邊三角形,
      ∴∠ABC=∠A,
      ∴∠BCF=∠ABC,
      ∴CF∥AB,
      ∴CF與直線AB不相交.(4分)

      (2)連接BO并延長交AC于H.
      ∵⊙O是等邊△ABC的外接圓,
      ∴∠BHC=90°,(5分)
      ∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),
      ∴∠BCE=30°.(6分)
      又∵∠ACB=60°,
      ∴∠HCE=90°.
      ∵∠BEC=90°,
      ∴∠HBE=90°.
      ∴BE是⊙O的切線. (8分)
      在△ACD中,
      ∵∠ACD=90°,∠A=60°,
      ∴∠D=30°,(9分)
      ∴BD=BC,
      ∴DE=CE,
      ∴S△BDE=S△BCE,(10分)
      在矩形BHCE中,
      S△BCE=S△BCH=
      1
      2
      S,(11分)
      ∴S△BCE=
      1
      2
      S,
      ∴S△BDE=
      1
      2
      S.(12分)
      點(diǎn)評:本題綜合考查了切線的判定,解直角三角形等知識點(diǎn)的運(yùn)用.此題是一個大綜合題,難度較大.
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      (1)當(dāng)t為何值時,AG=AE?
      (2)請證明△GFH的面積為定值;
      (3)當(dāng)t為何值時,點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn)?

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