Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，點F在BC上，連DF與AB的延長線交于點G．
（1）求證：△CDF∽△BGF；
（2）當點F是BC的中點時，過F作EF∥CD交AD于點E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的長．

Answer 1

（1）證明：∵梯形ABCD，AB∥CD，
∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF，
∴△CDF∽△BGF．

（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，
又∵F是BC的中點，BF=FC，
∴△CDF≌△BGF，
∴DF=GF，CD=BG，
∵AB∥DC∥EF，F(xiàn)為BC中點，
∴E為AD中點，
∴EF是△DAG的中位線，
∴2EF=AG=AB+BG．
∴BG=2EF-AB=2×4-6=2，
∴CD=BG=2cm．
分析：（1）利用平行線的性質(zhì)可證明△CDF∽△BGF．
（2）根據(jù)點F是BC的中點這一已知條件，可得△CDF≌△BGF，則CD=BG，只要求出BG的長即可解題．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)，全等三角形的判定及線段的等量代換，比較復雜．