Question

如圖，直線y=-x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P（a，b）是反比例函數(shù)y=

1

2x

在第一象限內(nèi)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥x軸于點(diǎn)E，PF⊥y軸于點(diǎn)F，分別交線段AB于M、N
（1）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形OEPF能否為正方形？若能求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和∠MON度數(shù)，若不能，請(qǐng)說明理由．
（2）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，AN•BM的值是否發(fā)生變化？若不變，求出AN•BM的值；若變化，求出AN•BM的值的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)得出ab=

1

2

，進(jìn)而得出a的值，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出M，N的坐標(biāo)，再利用全等三角形的性質(zhì)得出∠MON=∠MON'=

1

2

∠AOB=45°．
（2）利用已知一次函數(shù)解析式得出A，B坐標(biāo)，進(jìn)而得出△OAB的形狀，進(jìn)而得出AN=

2

ND=

2

b，BM=

2

MC=

2

a，再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=b時(shí)，四邊形OEPF是正方形，
則ab=

1

2

，故a²=

1

2

，
∵a＞0，
∴解得：a=

2

2

，
∴P（

2

2

，

2

2

），
∵M(jìn)，N是直線y=-x+1上的兩點(diǎn)，OE=

2

2

，
∴ME=y=-

2

2

+1=

2- 2

2

，

2

2

=-x+1，則FN=x=1-

2

2

=

2- 2

2

，
∴M（

2

2

，

2- 2

2

），N（

2- 2

2

，

2

2

），
將△OEM繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△OFM'，
則NM'=FM'+FN=2FN=2-

2

，
PM=PE-ME=

2

2

-

2- 2

2

=

2

-1，
PN=FP-FN=

2

2

-

2- 2

2

=

2

-1，
∴MN=

PM2+PN2

=

(2- 2 )2

=2-

2

，
∴NM'=MN，
在△ONM和△ONM'中，

NO=NO OM=OM′ MN=M′N

，
∴△ONM≌△ONM'（SSS），
∴∠MON=∠MON'=

1

2

∠AOB=45°；

（2）過M作MC⊥y軸于C，過N作ND⊥x軸于D，
∵直線y=-x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴y=0時(shí)，x=1，x=0時(shí)，y=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，1），
∴AO=BO，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴AN=

2

ND=

2

b，BM=

2

MC=

2

a，
∵P（a，b）是反比例函數(shù)y=

1

2x

在第一象限內(nèi)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，
∴2xy=1，則2ab=1，
∴AN•BM=2ab=1．
∴AN•BM為定值．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)綜合應(yīng)用以及全等三角形的性質(zhì)與判定和正方形的性質(zhì)等知識(shí)，利用已知圖形表示出AN，BM的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．