Question

在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過程是：
第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；
第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN（如圖2）．
請解答以下問題：
（1）如圖2，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結(jié)論；
（2）在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP？
（3）設(shè)矩形ABCD的邊AB=2，BC=4，并建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系．設(shè)直線BM′為y=kx，當(dāng)∠M′BC=60°時(shí)，求k的值．此時(shí)，將△ABM′沿BM′折疊，點(diǎn)A是否落在EF上（E、F分別為AB、CD中點(diǎn)），為什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)得到所求三角形的形狀；
（2）由作圖可得P在BC上，所以BC≥BP；
（3）根據(jù)所給的條件可得到M′的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線解析式，然后看點(diǎn)A到直線的距離是否等于假設(shè)的對應(yīng)點(diǎn)到直線的距離．

解答：解：（1）△BMP是等邊三角形．（1分）
證明：連接AN

∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN．
由折疊知AB=BN，
∴AN=AB=BN，∴△ABN為等邊三角形，
∴∠ABN=60°∴∠PBN=30°．（2分）
又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°，
∴∠BPN=60°，
∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°．
∴∠BMP=60°，
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°．
∴△BMP為等邊三角形．（4分）

（2）要在矩形紙片ABCD上剪出等邊△BMP，則BC≥BP（6分）
在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，
∴BP=

a

cos30°

，∴b≥

a

cos30°

，∴a≤

3

2

b．
∴當(dāng)a≤

3

2

b時(shí)，在矩形上能剪出這樣的等邊△BMP．（8分）

（3）∵∠M′BC=60°，
∴∠ABM′=90°-60°=30°．
在Rt△ABM′中，tan∠ABM′=

AM′

AB

，
∴tan30°=

AM′

2

，
∴AM′=

2 3

3

．
∴M′（

2 3

3

，2）．代入y=kx中，得k=

2

2 3 3

=

3

．（10分）
設(shè)△ABM′沿BM′折疊后，點(diǎn)A落在矩形ABCD內(nèi)的點(diǎn)為A′，
過A^′作A^′H⊥BC交BC于H．
∵△A^′BM′≌△ABM′，
∴∠A'BM'=∠ABM'=30°，A′B=AB=2．
∴∠A'BH=∠M'BH-∠A'BM'=30°．
在Rt△A′BH中，A′H=

1

2

A′B=1，BH=

3

，
∴A′(

3

，1)，
∴A′落在EF上．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用折疊得到圖形的特性以及三角函數(shù)來解決問題．