Question

運(yùn)動探究
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=10，CP⊥AB于P，頂點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向移動，頂點(diǎn)A隨之從y軸正半軸上一點(diǎn)移動到點(diǎn)O為止．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），求證：m=n；
（2）若OC=6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）填空：在點(diǎn)C移動的過程中，點(diǎn)P也隨之移動，則點(diǎn)P運(yùn)動的總路徑長為

 

．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，可證明△PCM≌△PAN，則PM=PN，即m=n；
（2）設(shè)CM=x，則PE=x+6，在直角三角形PCE中，由勾股定理得出x，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在此動過程中，當(dāng)點(diǎn)A與O重合時，點(diǎn)P到達(dá)最高點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)C與O重合時，點(diǎn)P到達(dá)最低點(diǎn)；根據(jù)三角形全等得出PQ，點(diǎn)P運(yùn)動的總路徑長為2PQ．

解答：解：（1）過點(diǎn)P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，
∵∠ACB=90°，BC=AC=10，CP⊥AB，
∴AP=BP=CP，
又∵∠PMC=∠PNA，∠CPM=∠APN=90°-∠CPN，
∴△PCM≌△PAN，
∴PM=PN，即m=n；

（2）設(shè)CM=x，則PM=x+6，
∵BC=AC=10，∴AB=10

2

，
∴PC=5

2

，
在Rt△PCM中，PC²=PM²+CM²，
即（5

2

）²=（x+6）²+x²，
解得x=1或-7（舍去負(fù)數(shù)）
∴CM=1，PM=7，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（7，7）；

（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)A與O重合時，點(diǎn)P到達(dá)最高點(diǎn)，即點(diǎn)Q；當(dāng)點(diǎn)C與O重合時，點(diǎn)P到達(dá)最低點(diǎn)，即點(diǎn)P；
設(shè)CE=x，則AE=10-x，在直角三角形ADE中，
由勾股定理得2（10-x）²=100，
解得x=10-5

2

，
則PQ=10-5

2

，
故點(diǎn)P運(yùn)動的總路徑長為20-10

2

．
故答案為20-10

2

．

點(diǎn)評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理和坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，是一道綜合題，難度偏大．