Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點，四邊形BCED為平行四邊形，DE、AC相交于F．
（1）試確定四邊形ADCE的形狀，并說明理由；
（2）若AB=16，AC=12，求四邊形ADCE的面積；
（3）若四邊形ADCE為正方形，△ABC應(yīng)添加什么條件，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

證明：（1）∵平行四邊形DBEC，
∴CE∥BD，CE=BD，
∵D為AB中點，
∴AD=BD，
∴CE∥AD，CE=AD，
∴四邊形ADCE為平行四邊形，
又BC∥DE，
∴∠AFD=∠ACB=90°，
∴AC⊥DE，
故四邊形ADCE為菱形，

（2）在Rt△ABC中，∵AB=16，AC=12，
∴BC=4，
∵D為AB中點，F(xiàn)也為AC的中點，
∴DF=2，
∴四邊形ADCE的面積=AC×DF=24，

（3）應(yīng)添加條件AC=BC．
證明：∵AC=BC，D為AB中點，
∴CD⊥AB（三線合一的性質(zhì)），即∠ADC=90°．
∵四邊形BCED為平行四邊形，四邊形ADCE為平行四邊形，
∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．
∴四邊形ADCE為正方形．（對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形）
分析：（1）由題意容易證明CE平行且等于AD，又知AC⊥DE，所以得到四邊形ADCE為菱形；
（2）根據(jù)解三角形的知識求出AC和DF的長，然后根據(jù)菱形的面積公式求出四邊形ADCE的面積；
（3）應(yīng)添加條件AC=BC，證明CD⊥AB且相等即可．
點評：本題主要考查正方形的判定、菱形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識點，此題是道綜合體，有一定的難度，解答的關(guān)鍵還是要能熟練掌握各種四邊形的基本性質(zhì)．