Question

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，∠DAB的平分線交DE于點M，交DF于點N，交DC于點P．
（1）求證：∠ADE=∠CDF；
（2）如果∠B=120°，求證：△DMN是等邊三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠DAB=∠C，DC∥AB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和垂線即可求出答案；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥AB，根據(jù)角平分線得出∠DAP=∠BAP，推出DA=DP，根據(jù)全等三角形的判定證△DAM≌△DPN，推出DN=DM，求出∠MDN60度，即可得到答案．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠DAB=∠C，DC∥AB，
∵DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，
∴∠ADE=90°-∠DAB，∠CDF=90°-∠C，
∴∠ADE=∠CDF．

（2）證明：∵∠DAB的平分線交DE于點M，交DF于點N，交DC于點P，
∴∠DAP=∠BAP，
∵DC∥AB，
∴∠DPA=∠BAP，
∴∠DAP=∠DPA，
∴DA=DP，
∵∠ADE=∠CDF，∠DAP=∠DPA，DA=DP，
∴△DAM≌△DPN，
∴DM=DN，
∵∠B=120°，
∴∠MDN=360°-∠DEB-∠EFB-∠B=360°-90°-90°-120°=60°，
∴△DMN是等邊三角形．
點評：本題主要考查對平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，垂線，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和定理等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．