Question

已知如圖，直線y=-

3

x+4

3

與x軸相交于點(diǎn)A，與直線y=

3

3

x相交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求S_△OPA的值；
（3）動(dòng)點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā)，沿著O→P→A的路線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)（E不與點(diǎn)O、A重合），過點(diǎn)E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B．設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，F(xiàn)的坐標(biāo)為（a，0），矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．求：S與a之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）P點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是兩個(gè)函數(shù)值相等時(shí)，從而列出方程求出坐標(biāo)．
（2）把OA看作底，P的縱坐標(biāo)為高，從而可求出面積．
（3）應(yīng)該分兩種情況，當(dāng)在OP上時(shí)和PA時(shí)，討論兩種情況求解．

解答：解：（1）-

3

x+4

3

=

3

3

x
x=3，
y=

3

．
所以P（3，

3

）．

（2）0=-

3

x+4

3

．
x=4．
4×

3

×

1

2

=2

3

．
故面積為2

3

．

（3）當(dāng)E點(diǎn)在OP上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，所以E點(diǎn)縱坐標(biāo)為

3

3

a，
∴S=

1

2

×

3

3

a•a=

3

6

a²．
當(dāng)點(diǎn)E在PA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，所以E點(diǎn)縱坐標(biāo)為-

3

a+4

3

．
M點(diǎn)橫坐標(biāo)為：-3a+12，
∴S=（-

3

a+4

3

）a-

1

2

（-

3

a+4

3

）（-3a+12）=-

5 3

2

a²+16

3

a-24

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)式知道橫坐標(biāo)能夠求出縱坐標(biāo)，橫縱坐標(biāo)求出后能夠表示出坐標(biāo)作頂點(diǎn)的矩形和三角形的面積以及求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)．