Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，DC=5，AB=，∠B=45°，動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿CDA以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，若M、N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)（終點(diǎn)）時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）計(jì)算點(diǎn)N從C點(diǎn)出發(fā)到達(dá)終點(diǎn)A所需的時(shí)間；
（2）求BC的長(zhǎng)；
（3）t為何值時(shí)，四邊形ABMN為平行四邊形；
（4）t為何值時(shí)，四邊形CDNM為等腰梯形．

Answer 1

解：（1）∵AD+DC=4+5=9，
∴點(diǎn)N從C點(diǎn)出發(fā)到達(dá)終點(diǎn)A所需的時(shí)間是=4.5（秒）；

（2）
過(guò)A作AE⊥BC于E，過(guò)D作DF⊥BC于F，
則AE∥DF，∠AEF=90°，
∵AD∥BC，
∴四邊形AEFD是矩形，
∴AD=EF=4，AE=DF，
∵在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=4，
∴sin45°==，
∴AE=4=BE，
∴DF=AE=4，
在Rt△DFC中，DC=5，DF=4，根據(jù)勾股定理得：CF=3，
∴BC=BE+EF+CF=4+4+3=11；

（3）∵AD∥BC，M在BC上，
∴只有N在AD上時(shí)才能得出四邊形ABMN為平行四邊形，如圖

∴BM=AN，
即t=9-2t，
t=3，
即t為3秒時(shí)，四邊形ABMN為平行四邊形；

（4）如圖，∵只有當(dāng)N在AD上，四邊形CDNM才能是等腰梯形，

過(guò)N作NQ⊥BC于Q，
∴NQ∥DF，
∵AD∥BC，∠DFB=90°，
∴四邊形DNQF是矩形，
∴NQ=DF=4，DN=QF=2t-5，
∵四邊形DNMC是等腰梯形，
∴MN=CD=5，
由勾股定理得：MQ=CF=3，
∵BC=BM+MQ+QF+CF，
∴11=t+3+2t-5+3，
t=，
即t為秒時(shí)，四邊形CDNM為等腰梯形．
分析：（1）求出AD+DC，即可求出答案；
（2）過(guò)A作AE⊥BC于E，過(guò)D作DF⊥BC于F，得出矩形AEFD，求出EF=AD=4，AE=DF=4，根據(jù)勾股定理求出BE和CF，即可求出BC；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AN=MB，代入得出9-2t=t，求出即可；
（4）過(guò)N作NQ⊥BC于Q，求出MQ，QF，F(xiàn)C，根據(jù)BC=11代入求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，等腰梯形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，本題具有一定的代表性，是一道比較好的題目，用了運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)．