Question

已知拋物線y=-x²+2mx-m²+2的頂點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，C是線段AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D并交拋物線于點(diǎn)P．
（1）若點(diǎn)C（1，a）是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若直線AP交y軸的正半軸于點(diǎn)E，且AC=CP，求△OEP的面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，a），然后設(shè)P（1，n）代入x=-，得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，求得函數(shù)的解析式，把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入得n=1，從而求得函數(shù)的解析式；
（2）把拋物線化為頂點(diǎn)式：y=-（x-m）²+2，求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)C（n，2），然后表示出P（n，-（n-m）²+2）根據(jù)AC=CP求得m-n的值，然后表示出OB、OE的值從而表示出△OPE的面積，進(jìn)而求得面積的取值范圍．
解答：解：（1）依題意得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，a），
設(shè)P（1，n）據(jù)x=-，得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，即m=2，
所以y=-x²+4x-2，把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入得n=1，
即P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）

（2）把拋物線化為頂點(diǎn)式：y=-（x-m）²+2，
可知A（m，2），設(shè)C（n，2），
把n代入y=-（x-m）²+2得y=-（n-m）²+2，
所以P（n，-（n-m）²+2）
∵AC=CP
∴m-n=2+（m-n）²-2，
即m-n=（m-n）²，
∴m-n=0或m-n=1，
又∵C點(diǎn)不與端點(diǎn)A、B重合
∴m≠n，
即m-n=1，
則A（m，2），P（m-1，1）
由AC=CP可得BE=AB
∵OB=2
∴OE=2-m，
∴△OPE的面積S=（2-m）（m-1）=-（m-）²+（1＜m＜2），
∴0＜S≤．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的用字母表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用題目的已知條件得到有關(guān)的方程或不等式，從而求得未知數(shù)的值或取值范圍．