Question

設(shè)α，β為方程x²-4x-m²+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，要使|α|+|β|≤5，則實(shí)數(shù)m的取值范圍滿足|m|≤

 

（用最簡(jiǎn)根式作答）．

Answer 1

分析：先根據(jù)方程有實(shí)根，得判別式≥0，再用根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之和與兩根之積，討論m的取值范圍即可．

解答：解：方程有實(shí)根，判別式≥0，
∴（-4）²-4（1-m²）≥0，∴m取全體實(shí)數(shù)，
由韋達(dá)定理，
得 α+β=4，αβ=1-m²，
∵|α|+|β|≤5，
∴（|α|+|β|）²=α²+β²+2|αβ|=（α+β）²+2|αβ|-2αβ=16+2|1-m²|-2（1-m²）≤25，
當(dāng)m＜-1時(shí)，不等式變?yōu)閙²≤

13

4

，解得-

13

2

≤m＜-1；
當(dāng)-1≤m≤1時(shí)，不等式變?yōu)?6≤25，滿足．
當(dāng)m＞1時(shí)，不等式變?yōu)閙²≤

13

4

，解得1＜m≤

13

2

；
綜上，得|m|≤

13

2

．
故答案為

13

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根的分布情況，兩根之和與兩根之積，討論m的取值范圍是解此題關(guān)鍵．