【題目】如圖,△ABC中,∠ABC=90°.
(1)請在BC上找一點P,作⊙P與AC,AB都相切,切點為Q;(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡)
(2)若AB=3,BC=4,求第(1)題中所作圓的半徑;
(3)連結(jié)BQ,第(2)中的條件均不變,求sin∠CBQ.
【答案】(1)作圖見解析;(2)1.5;(3).
【解析】
試題分析:本題考查了作圖-復雜作圖:復雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖,一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖,逐步操作.也考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和三角函數(shù)的定義.(1)作∠BAC的平分線交BC于P點,然后以點P為圓心,PB為半徑作圓即可;
(2)連結(jié)PQ,如圖,先計算出AC=5,設(shè)半徑為r,BP=PQ=r,PC=4-r,再證明Rt△CPQ∽Rt△CAB,則可利用相似比計算出r即可;
(3)先利用切線長定理得到AB=AQ,加上PB=PQ,則判定AP為BQ的垂直平分線,則利用等角的余角相等得到∠CBQ=∠BAP,然后在Rt△ABP中利用正弦定義求出sin∠BAP,從而可得到sin∠CBQ的值.
試題解析:(1)如圖,
;
(2)連結(jié)PQ,設(shè)半徑為r,BP=PQ=r,PC=4-r,
由∠ABC=90°,AB=3,BC=4,得AC=5,
(易證)△PQC∽△ABC,
=,即=,得r=1.5;
(3)由AB,AQ與⊙P相切,
AB=AQ
BP=PQ
AP為BQ的中垂線
,
易證△BHP∽△ABP,
∠CBQ=∠BAP,
sin∠CBQ=sin∠BAP=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(10分)校學生會體育干部想了解七年級學生60秒跳繩的情況,從七年級隨機抽取了50名同學的成績,統(tǒng)計如下:
176 118 94 144 102 92 113 105 108 60
115 104 126 158 105 132 114 118 152 104
151 165 102 132 112 114 118 114 168 172
105 118 68 126 128 139 84 136 76 145
134 128 126 110 96 148 146 156 186 182
(1)以20為組距,補充并完成頻數(shù)分布表;
(2)請補充未完成的頻數(shù)直方分布圖;
(3)若該校七年級有300名學生,請估計60秒能跳繩120次以上的學生有多少人?
次數(shù)分組 | 頻數(shù) |
60≤ x < 80 | 3 |
80≤ x < 100 | 4 |
100≤ x < 120 | 19 |
140≤ x < 160 | 8 |
180≤ x < 200 | 2 |
合計 | 50 |
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從下列不等式中選擇一個與x+1≥2組成不等式組,若要使該不等式組的解集為x≥1,則可以選擇的不等式是( 。
A. x<2 B. x>2 C. x<0 D. x>0
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校組織了一次七年級科技小制作比賽,有A、B、C、D四個班共提供了100件參賽作品,C班提供的參賽作品的獲獎率為50%,其他幾個班的參賽作品情況及獲獎情況繪制在下列圖①和圖②兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖中.
(1)B班參賽作品有多少件?
(2)請你將圖②的統(tǒng)計圖補充完整;
(3)通過計算說明,哪個班的獲獎率高?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀下面的材料:
如圖1,在數(shù)軸上A點衰示的數(shù)為a,B點表示的數(shù)為b,則點A到點B的距離記為AB.線段AB的長可以用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)表示,即AB﹣b﹣a.
請用上面的知識解答下面的問題:
如圖2,一個點從數(shù)軸上的原點開始,先向左移動1cm到達A點,再向左移動2cm到達B點,然后向右移動7cm到達C點,用1個單位長度表示1cm.
(1)請你在數(shù)軸上表示出A.B.C三點的位置:
(2)點C到點人的距離CA= cm;若數(shù)軸上有一點D,且AD=4,則點D表示的數(shù)為 ;
(3)若將點A向右移動xcm,則移動后的點表示的數(shù)為 ;(用代數(shù)式表示)
(4)若點B以每秒2cm的速度向左移動,同時A.C點分別以每秒1cm、4cm的速度向右移動.設(shè)移動時間為t秒,
試探索:CA﹣AB的值是否會隨著t的變化而改變?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】以下四個結(jié)論:
①一個多邊形的內(nèi)角和為900°,從這個多邊形同一個頂點可畫的對角線有4條;
②三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和;
③任意一個三角形的三條高所在的直線的交點一定在三角形的內(nèi)部;
④在ΔABC中,若∠A=2∠B=3∠C,則ΔABC為直角三角形;
其中正確的結(jié)論有幾個?( 。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=x2+bx+c過A,B,C三點,點A的坐標是(3,0),點C的坐標是(0,-3),動點P在拋物線上.
(1)b =_________,c =_________,點B的坐標為_____________;(直接填寫結(jié)果)
(2)是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,說明理由;
(3)過動點P作PE垂直y軸于點E,交直線AC于點D,過點D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當線段EF的長度最短時,求出點P的坐標.
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