Question

已知關于的方程
（1）求證：無論取任何實數(shù)時，方程恒有實數(shù)根；
（2）若關于的二次函數(shù)的圖象與軸兩交點間的距離為2時，求拋物線的解析式.

Answer 1

（1）分與兩種情況討論，再結合一元二次方程的根的判別式即可判斷；
（2）

試題分析：（1）分與兩種情況討論，再結合一元二次方程的根的判別式即可判斷；
（2）先求出二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標，再根據(jù)兩交點間的距離為2即可求得m的值，從而得到結果.
（1）分兩種情況討論：
當時，方程為，，方程有實數(shù)根
當，則一元二次方程的根的判別式
＝
不論為何實數(shù)，成立，即方程恒有實數(shù)根
綜合、可知取任何實數(shù)，方程恒有實數(shù)根；
（2）設為拋物線與軸交點的橫坐標.
則有， 
∴拋物線與軸交點的坐標為（2 ，0）、（ ，0）
∵拋物線與軸兩交點間的距離為2
∴或 
∴或
∴所求拋物線的解析式為.
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握一元二次方程，當時，方程有兩個不相等實數(shù)根；當時，方程的兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根。