Question

等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，點A、點B分別是x軸、y軸兩個動點，直角邊AC交x軸于點D，斜邊BC交y軸于點E。

（1）如圖（1），若A(0，1)，B(2，0)，求C點的坐標；

（2）如圖（2）， 當?shù)妊黂t△ABC運動到使點D恰為AC中點時，連接DE，求證：∠ADB=∠CDE；

（3）如圖（3），在等腰Rt△ABC不斷運動的過程中，若滿足BD始終是∠ABC的平分線，試探究：線段OA、OD、BD三者之間是否存在某一固定的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）C(－1，－1)；（2）見解析；（3）BD=2(OA +OD)

【解析】

試題分析：（1）過點C作CF⊥y軸于點F，則△ACF≌△ABO(AAS)，即得CF=OA=1，AF=OB=2，

從而求得結(jié)果；

（2）過點C作CG⊥AC交y軸于點G，則△ACG≌△ABD(ASA)，即得CG=AD=CD，∠ADB=∠G， 由∠DCE=∠GCE=45°，可證△DCE≌△GCE(SAS)得∠CDE=∠G，從而得到結(jié)論；

(3)在OB上截取OH=OD，連接AH，由對稱性得AD=AH, ∠ADH=∠AHD，可得∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，即得∠AEC=∠BHA，從而證得△ACE≌△BAH(AAS)，即可得到   AE=BH=2OA，從而得到結(jié)果.

（1）如圖，過點C作CF⊥y軸于點F

則△ACF≌△ABO(AAS)，

∴CF=OA=1，AF=OB=2

∴OF=1

∴C(－1，－1)；

（2）如圖，過點C作CG⊥AC交y軸于點G

則△ACG≌△ABD(ASA)

∴CG=AD=CD，∠ADB=∠G

∵∠DCE=∠GCE=45°

∴△DCE≌△GCE(SAS)

∴∠CDE=∠G

∴∠ADB=∠CDE；  

 (3) 如圖，在OB上截取OH=OD，連接AH

由對稱性得AD=AH, ∠ADH=∠AHD

∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO

∴∠AEC=∠BHA    

又∵AB=AC  ∠CAE=∠ABH

∴△ACE≌△BAH(AAS)   

∴AE=BH=2OA        

∵DH=2OD

∴BD=2(OA +OD)

考點：本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)

點評：解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，同時熟練掌握全等三角形的判定方法，靈活選擇恰當?shù)娜�角形進行分析.