Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB＝3，點E在邊CD上，且CD＝3DE.將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG，CF.下列結(jié)論：①點G是BC中點；②FG＝FC；③S△FGC＝.其中正確的是(　　)

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：先求出DE、CE的長，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AD=AF，EF=DE，∠AFE=∠D=90°，再利用“HL”證明Rt△ABG和Rt△AFG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BG=FG，再設BG=FG=x，然后表示出EG、CG，在Rt△CEG中，利用勾股定理列出方程求出x=，從而可以判斷①正確；根據(jù)∠AGB的正切值判斷∠AGB≠60°，從而求出∠CGF≠60°，△CGF不是等邊三角形，FG≠FC，判斷②錯誤；先求出△CGE的面積，再求出EF：FG，然后根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊長的比求解即可得到△FGC的面積，判斷③正確．

詳解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，

∴DE=×3=1，CE=3-1=2，

∵△ADE沿AE對折至△AFE，

∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，

∴AB=AF=AD，

在Rt△ABG和Rt△AFG中，

，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

∴BG=FG，

設BG=FG=x，則EG=EF+FG=1+x，CG=3-x，

在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，

即（1+x）2=（3-x）2+22，

解得，x=，

∴CG=3-=，

∴BG=CG=，

即點G是BC中點，故①正確；

∵tan∠AGB= =2，

∴∠AGB≠60°，

∴∠CGF≠180°-60°×2≠60°，

又∵BG=CG=FG，

∴△CGF不是等邊三角形，

∴FG≠FC，故②錯誤；

△CGE的面積=CGCE=××2=，

∵EF：FG=1：=2：3，

∴S△FGC=，故③正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有①③．

故選B．