Question

如圖，AB為⊙O的直徑，D為弧BC的中點(diǎn)，弦DE⊥AB于F，延長(zhǎng)CD交AB的延長(zhǎng)線于G，且BG=DE，則以下結(jié)論：①BG=BC；②F為AG的中點(diǎn)，其中正確的結(jié)論是

1. A.
   ①②都正確
2. B.
   ①②都錯(cuò)誤
3. C.
   只有①正確
4. D.
   只有②正確

Answer 1

A
分析：兩選項(xiàng)都正確，理由為：由DE垂直于AB，利用垂徑定理得到B為弧ED的中點(diǎn)，得到弧BD與弧BE相等，再由D為弧BC的中點(diǎn)，得到弧CD與弧BD相等，等量代換得到弧BC與弧DE相等，等弧對(duì)等弦，得到BC=DE，而DE=BG，等量代換得到BG=BC；由BG=BC，等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由同弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，等量代換再利用等角對(duì)等邊得到DA=DG，由DF垂直于AG，利用三線合一得到F為AG的中點(diǎn)．
解答：∵DE⊥AB，
∴B為弧DE的中點(diǎn)，即=，
∵D為弧BC的中點(diǎn)，∴=，
∴=，
∴BC=DE，又BG=DE，
∴BC=BG，故選項(xiàng)①正確；
連接AD，如圖所示：

∵∠A與∠BCD都對(duì)弧BD，
∴∠A=∠BCD，
又BC=BG，∴∠G=∠BCD，
∴∠A=∠BCD，
∴DA=DG，又DF⊥AG，
則F為AG的中點(diǎn)，故選項(xiàng)②正確，
故選A
點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，圓周角定理，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．